Ejercicio de cálculo de integrales 29

Calculemos paso a paso la siguiente integral indefinida:

$$ \int \frac{( \sin x - \cos x)^2}{\cos^2 x} \ dx $$

1. Desarrollo del cuadrado

Comenzamos expandiendo el término del numerador:

$$ ( \sin x - \cos x)^2 = \sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x $$

La integral queda:

$$ \int \frac{\sin^2 x - 2 \sin x \cos x + \cos^2 x}{\cos^2 x} \ dx $$

2. Simplificación mediante identidad trigonométrica

$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $

Sustituyendo en el numerador:

$$ \sin^2 x + \cos^2 x = 1 $$

Obtenemos:

$$ \int \frac{1 - 2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} \ dx $$

3. Separación de términos

Reescribimos el integrando:

$$ \int \left( \frac{1}{\cos^2 x} - \frac{2 \sin x \cos x}{\cos^2 x} \right) dx $$

$$ = \int \frac{1}{\cos^2 x} \ dx - \int \frac{2 \sin x}{\cos x} \ dx $$

Por linealidad:

$$ = \int \sec^2 x \ dx - 2 \int \tan x \ dx $$

4. Cálculo de la primera integral

Sabemos que:

$$ \int \sec^2 x \ dx = \tan x + C $$

Entonces:

$$ \tan x - 2 \int \tan x \ dx + C $$

5. Cálculo de la segunda integral

La integral de la tangente es una fórmula estándar:

$$ \int \tan x \ dx = -\log |\cos x| + C $$

Sustituyendo:

$$ \tan x - 2(-\log |\cos x|) + C $$

$$ = \tan x + 2 \log |\cos x| + C $$

Resultado final

$$ \int \frac{( \sin x - \cos x)^2}{\cos^2 x} \ dx = \tan x + 2 \log |\cos x| + C $$

La integral se resuelve combinando una simplificación trigonométrica con integrales elementales.