Ejercicio de cálculo integral 28

Calculemos la siguiente integral:

$$ \int \frac{x^3+2x-3}{x^2+2x+1} \ dx $$

El integrando es una función racional, es decir, un cociente de polinomios. Cuando el grado del numerador es mayor que el del denominador, conviene comenzar con una división de polinomios. Este paso permite descomponer la expresión en términos más sencillos.

división de polinomios para simplificar una función racional antes de integrar

Al dividir, obtenemos:

$$ \frac{x^3+2x-3}{x^2+2x+1} = x - 2 \quad \text{con resto } 5x - 1 $$

Por lo tanto:

$$ x^3 + 2x - 3 = (x^2 + 2x + 1)(x - 2) + (5x - 1) $$

Sustituimos en la integral:

$$ \int \frac{(x^2+2x+1)(x - 2) + (5x - 1)}{x^2+2x+1} \ dx $$

Ahora aplicamos la linealidad de la integral:

$$ \int (x - 2) \ dx + \int \frac{5x - 1}{x^2 + 2x + 1} \ dx $$

La primera integral es inmediata:

$$ \frac{x^2}{2} - 2x + C + \int \frac{5x - 1}{x^2 + 2x + 1} \ dx $$

Nos centramos en la integral restante. Observamos que el denominador es un cuadrado perfecto:

$$ x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2 $$

Reescribimos:

$$ \frac{x^2}{2} - 2x + C + \int \frac{5x - 1}{(x + 1)^2} \ dx $$

Para integrar este término utilizamos la descomposición en fracciones parciales:

$$ \frac{5x - 1}{(x + 1)^2} = \frac{A}{(x + 1)^2} + \frac{B}{x + 1} $$

Llevamos a denominador común:

$$ \frac{A + B(x + 1)}{(x + 1)^2} $$

Igualamos numeradores:

$$ 5x - 1 = Bx + (A + B) $$

Comparando coeficientes:

$$ \begin{cases} B = 5 \\ A + B = -1 \end{cases} $$

De donde:

$$ A = -6 $$

Así:

$$ \int \frac{5x - 1}{(x + 1)^2} \ dx = \int \frac{-6}{(x + 1)^2} \ dx + \int \frac{5}{x + 1} \ dx $$

Extraemos constantes:

$$ = -6 \int \frac{1}{(x + 1)^2} \ dx + 5 \int \frac{1}{x + 1} \ dx $$

Recordamos las primitivas básicas:

$ \int \frac{1}{x + 1} \ dx = \log|x + 1| + C $
$ \int \frac{1}{(x + 1)^2} \ dx = -\frac{1}{x + 1} + C $

Por lo tanto:

$$ \int \frac{5x - 1}{(x + 1)^2} \ dx = \frac{6}{x + 1} + 5 \log|x + 1| + C $$

Nota. La verificación es directa: $ \frac{d}{dx}\left(-\frac{1}{x+1}\right)=\frac{1}{(x+1)^2} $.

Sustituyendo en la expresión general:

$$ \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{6}{x + 1} + 5 \log|x + 1| + C $$

En conclusión:

$$ \int \frac{x^3+2x-3}{x^2+2x+1} \ dx = \frac{x^2}{2} - 2x + \frac{6}{x + 1} + 5 \log|x + 1| + C $$

Con esto concluye la resolución del ejercicio.