Ejercicio de cálculo integral 42

Queremos evaluar la siguiente integral:

$$ \int \frac{x^2-3}{x^3-4x^2+5x-2} \ dx $$

El integrando es una función racional. Como el grado del denominador es mayor que el del numerador, no es necesario efectuar una división de polinomios. La estrategia más directa consiste en factorizar el denominador y aplicar la descomposición en fracciones parciales.

Comprobamos primero si el polinomio del denominador admite raíces sencillas. Observamos que se anula en \( x = 1 \), lo que permite usar la regla de Ruffini:

$$ \begin{array}{c|lcc|r} & 1 & -4 & 5 & -2 \\ 1 & & 1 & -3 & 2 \\ \hline & 1 & -3 & 2 & 0 \end{array} $$

Así obtenemos la factorización:

$$ x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = (x - 1)(x^2 - 3x + 2) $$

Analizamos ahora el factor cuadrático. Su discriminante es positivo:

$$ \Delta = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4(1)(2) = 9 - 8 = 1 $$

Por tanto, tiene dos raíces reales distintas:

$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{3 \pm 1}{2} = \begin{cases} x_1 = 1 \\ \\ x_2 = 2 \end{cases} $$

La descomposición completa del denominador queda:

$$ x^3 - 4x^2 + 5x - 2 = (x - 1)^2 (x - 2) $$

Sustituimos en la integral:

$$ \int \frac{x^2 - 3}{x^3 - 4x^2 + 5x - 2} \ dx = \int \frac{x^2 - 3}{(x - 1)^2 (x - 2)} \ dx $$

Aplicamos la descomposición en fracciones parciales:

$$ \frac{x^2 - 3}{(x - 1)^2 (x - 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{(x - 1)^2} + \frac{C}{x - 2} $$

Reescribimos como una única fracción:

$$ \frac{x^2 - 3}{(x - 1)^2 (x - 2)} = \frac{A(x - 1)(x - 2) + B(x - 2) + C(x - 1)^2}{(x - 1)^2 (x - 2)} $$

Desarrollamos el numerador:

$$ A(x^2 - 3x + 2) + B(x - 2) + C(x^2 - 2x + 1) $$

Agrupamos términos semejantes:

$$ (A + C)x^2 + (-3A + B - 2C)x + (2A - 2B + C) $$

Igualamos coeficientes con \( x^2 - 3 \):

$$ \begin{cases} A + C = 1 \\ -3A + B - 2C = 0 \\ 2A - 2B + C = -3 \end{cases} $$

Resolviendo el sistema:

$$ \begin{cases} A = 1 - C \\ C = 3 - B \\ B = 2 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} A = 0 \\ C = 1 \\ B = 2 \end{cases} $$

La integral se simplifica a:

$$ \int \left( \frac{2}{(x - 1)^2} + \frac{1}{x - 2} \right) dx $$

Por la linealidad de la integral:

$$ 2 \int \frac{1}{(x - 1)^2} \ dx + \int \frac{1}{x - 2} \ dx $$

Calculamos ambas integrales:

• $$ \int (x - 1)^{-2} \ dx = -\frac{1}{x - 1} + C $$
• $$ \int \frac{1}{x - 2} \ dx = \log |x - 2| + C $$

Resultado final:

$$ \int \frac{x^2 - 3}{(x - 1)^2 (x - 2)} \ dx = -\frac{2}{x - 1} + \log |x - 2| + C $$

Este es el valor de la integral.

Y así sucesivamente...