Ejercicio de integración 17
Calculemos la integral indefinida
$$ \int \frac{1}{x^2 + x^4} \ dx $$
El primer paso consiste en simplificar el denominador mediante factorización:
$$ \int \frac{1}{x^2 (1 + x^2)} \ dx $$
Ahora el integrando aparece como un cociente racional con factores irreducibles, lo que permite aplicar la técnica de descomposición en fracciones parciales.
Planteamos la descomposición:
$$ \frac{1}{x^2 (1 + x^2)} = \frac{A}{x} + \frac{B}{x^2} + \frac{Cx + D}{1 + x^2} $$
Para determinar las constantes, reunimos todo en una sola fracción:
$$ \frac{A x (1 + x^2) + B (1 + x^2) + (Cx + D) x^2}{x^2 (1 + x^2)} $$
Desarrollamos el numerador:
$$ Ax + Ax^3 + B + Bx^2 + Cx^3 + Dx^2 $$
y agrupamos términos semejantes:
$$ x^3 (A + C) + x^2 (B + D) + xA + B $$
Al comparar con el numerador original, que es 1, obtenemos el sistema:
- A + C = 0
- B + D = 0
- A = 0
- B = 1
Resolviendo:
$$ \begin{cases} A = 0 \\ B = 1 \\ C = 0 \\ D = -1 \end{cases} $$
Sustituimos en la descomposición:
$$ \int \left( \frac{1}{x^2} - \frac{1}{1 + x^2} \right) dx $$
Integramos término a término.
Para la función potencia:
\( \int x^{-2} \ dx = -\frac{1}{x} + c \)
Para la forma estándar:
\( \int \frac{1}{1 + x^2} \ dx = \arctan(x) + c \)
Combinando ambos resultados:
$$ \int \frac{1}{x^2 (1 + x^2)} \ dx = -\frac{1}{x} - \arctan(x) + c $$
Esta es la expresión final de la integral.
