De complementariteit tussen het inwendige en de afsluiting van een verzameling
In de topologie beschrijft de complementariteit tussen het inwendige en de afsluiting van een verzameling een eenvoudige maar fundamentele relatie. Het inwendige van het complement van een verzameling \( A \) blijkt exact samen te vallen met het complement van de afsluiting van \( A \): $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Illustratief voorbeeld
Om deze eigenschap concreet te maken, bekijken we een vertrouwde topologische ruimte : de reële getallenlijn \(\mathbb{R}\), voorzien van de gebruikelijke topologie, waarin open verzamelingen bestaan uit open intervallen.
Neem de verzameling \( A = [0,1] \), een gesloten interval.
$$ A = [0,1] $$
Het complement van \( A \) in \(\mathbb{R}\) bestaat uit alle reële getallen buiten dit interval:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Het inwendige van \( \mathbb{R} - A \), genoteerd als \( \text{Int}(\mathbb{R} - A) \), omvat precies die punten waarvoor een open omgeving bestaat die volledig binnen dit complement ligt.
Omdat \( (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \) zelf al een open verzameling is, verandert het nemen van het inwendige niets:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
We kijken nu naar de afsluiting van \( A \). De afsluiting \( \text{Cl}(A) \) is de kleinste gesloten verzameling die \( A \) bevat, oftewel \( A \) samen met al zijn ophopingspunten.
In dit geval is \( A \) al gesloten, zodat:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Het complement van deze afsluiting in \(\mathbb{R}\) is opnieuw:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Vergelijken we beide resultaten:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
dan zien we dat ze exact gelijk zijn. Dit bevestigt de aangekondigde relatie:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Het voorbeeld laat zien hoe de complementariteit tussen inwendige en afsluiting in een concrete situatie tot uiting komt.
Bewijs
We formuleren nu het algemene argument. Zij \( A \) een deelverzameling van een topologische ruimte \( X \). We tonen aan dat:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Daarvoor herinneren we aan de volgende definities:
- Het inwendige van een verzameling \( B \), genoteerd als \( \text{Int}(B) \), bestaat uit alle punten van \( B \) waarvoor een open omgeving bestaat die volledig in \( B \) ligt.
- De afsluiting van een verzameling \( A \), aangeduid met \( \text{Cl}(A) \), is de kleinste gesloten verzameling die \( A \) bevat, dus \( A \) samen met al zijn ophopingspunten.
Het bewijs volgt uit het aantonen van twee wederzijdse inclusies.
1] Bewijs van \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Neem een punt \( x \in \text{Int}(X - A) \). Per definitie bestaat er een open omgeving \( U \) van \( x \) die volledig in \( X - A \) ligt.
Daaruit volgt dat \( U \cap A = \emptyset \). Geen enkel punt van \( A \) ligt dus in de omgeving \( U \).
Als \( x \) een ophopingspunt van \( A \) zou zijn, dan zou elke open omgeving van \( x \) noodzakelijk een punt van \( A \) bevatten. Dit is in tegenspraak met \( U \cap A = \emptyset \).
We concluderen dat \( x \notin \text{Cl}(A) \), en dus \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Daarmee geldt:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2] Bewijs van \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Neem omgekeerd een punt \( x \in X - \text{Cl}(A) \). Dit betekent dat \( x \) geen element van \( A \) is en ook geen ophopingspunt van \( A \).
Er bestaat dan een open omgeving \( U \) van \( x \) waarvoor geldt dat \( U \cap A = \emptyset \).
Hieruit volgt dat \( U \subseteq X - A \), zodat \( x \in \text{Int}(X - A) \).
We vinden dus:
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3] Conclusie
Aangezien beide inclusies zijn aangetoond:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
volgt onmiddellijk de gelijkheid:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Hiermee is het bewijs voltooid.
