Topologie van open rechthoeken

De topologie van open rechthoeken biedt een toegankelijke manier om het vlak $ \mathbb{R}^2 $ te begrijpen. In deze benadering bestaan open verzamelingen uit willekeurige unies van open rechthoeken. Zo'n rechthoek ontstaat doordat twee open intervallen op de $x$- en $y$-as met elkaar worden gecombineerd. Dit levert een helder en intuïtief uitgangspunt om topologische structuren in twee dimensies te bestuderen.

De basis van deze topologie bestaat volledig uit open rechthoekige buurten. Je kunt deze zien als de elementaire bouwstenen waaruit alle open verzamelingen van het vlak worden opgebouwd.

Een deelverzameling $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ heet open wanneer elk punt $ (x, y) \in U $ wordt omgeven door een open rechthoek die volledig binnen $ U $ ligt. Op die manier bieden open rechthoeken een concreet en visueel hanteerbaar middel om openheid te beschrijven.

Open rechthoeken spelen daardoor een belangrijke rol binnen de euclidische topologie op het vlak.

$$ B = \{ (a, b) \times (c, d) \mid a< b, c<d \} $$

De reële getallen $ a, b, c, d $ bepalen hierbij de horizontale en verticale grenzen van de rechthoek.

Deze aanpak vormt een volwaardig alternatief voor de gebruikelijke manier waarop de topologie van $ \mathbb{R}^2 $ wordt gebouwd, namelijk via open bollen of schijven. Beide methoden leiden echter tot precies dezelfde topologie.

Opmerking : Dit laat goed zien hoe flexibel topologische systemen zijn. Of je nu schijven of rechthoeken gebruikt als basisverzamelingen, de resulterende open verzamelingen blijven identiek. Het verschil zit alleen in het perspectief dat je kiest om dezelfde structuur te beschrijven.

Voorbeeld van een open rechthoek

Een open rechthoek in $ \mathbb{R}^2 $ wordt gevormd door twee open intervallen, één op de $x$-as en één op de $y$-as. Zo'n voorbeeld maakt meteen duidelijk hoe deze basisverzamelingen werken.

Neem de intervallen $ (1, 3) $ op de $x$-as en $ (2, 4) $ op de $y$-as.

illustratie van een open rechthoek in het vlak

De bijbehorende rechthoek bestaat uit alle punten $ (x, y) $ waarvoor $ x \in (1, 3) $ en $ y \in (2, 4) $. Formeel schrijven we dit als $ (1, 3) \times (2, 4) $.

punt (2,3) binnen een open rechthoek

Het punt $ (2, 3) $ ligt duidelijk binnen deze rechthoek omdat beide coördinaten strikt binnen de gegeven intervallen vallen.

Opmerking : De rand van de rechthoek hoort niet bij de verzameling. Punten die precies op de lijnen $ x = 1 $, $ x = 3 $, $ y = 2 $ of $ y = 4 $ liggen, maken er dus geen deel van uit.