Voorbeeld van een topologie

In dit voorbeeld onderzoeken we stap voor stap hoe we alle mogelijke topologieën kunnen bepalen op een eenvoudige verzameling $X$.

$$ X = \{ a,b \} $$

Om dat te doen, bekijken we alle families van deelverzamelingen van $X$ die voldoen aan de formele definitie van een topologie. Dit helpt ons beter te begrijpen hoe de structuur van een topologische ruimte wordt opgebouwd.

Definitie van een topologie. Een topologie op een verzameling $X$ is een familie $T$ van deelverzamelingen van $X$ die voldoet aan drie fundamentele voorwaarden:

Ze bevat zowel de lege verzameling $∅$ als de volledige verzameling $X$.
Ze is gesloten onder willekeurige unies (zowel eindige als oneindige) van verzamelingen in $T$.
Ze is gesloten onder eindige doorsneden van verzamelingen in $T$.

Voor de verzameling $ X = \{a,b\} $ is de machtsverzameling:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Elke topologie op $X$ moet verplicht de lege verzameling en de volledige verzameling bevatten. Deze twee komen dus altijd voor, ongeacht welke topologie we kiezen.

Met dit uitgangspunt kunnen we alle families van deelverzamelingen opsommen die aan de drie axioma’s voldoen. Er blijken precies vier mogelijke topologieën te bestaan:

De triviale (of minimale) topologie, met enkel de strikt noodzakelijke verzamelingen: $$ T_1 = \{ ∅, \{a,b\} \} $$
Een topologie die bovendien de singleton $\{a\}$ bevat: $$ T_2 = \{ ∅, \{a\}, \{a,b\} \} $$
Een topologie die bovendien de singleton $\{b\}$ bevat: $$ T_3 = \{ ∅, \{b\}, \{a,b\} \} $$
De discrete (of maximale) topologie, waarin alle deelverzamelingen van $X$ als open worden beschouwd: $$ T_4 = \{ ∅, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $$

Dit zijn alle mogelijke topologieën op de verzameling $X$.

De triviale topologie heeft de eenvoudigste structuur: ze onderscheidt alleen de lege en de volledige verzameling. De discrete topologie is precies het tegenovergestelde: ze beschouwt elk mogelijk deel van $X$ als open. Tussen deze twee uitersten liggen de topologieën $T_2$ en $T_3$, die elk één extra open verzameling toevoegen.

We kunnen dus besluiten dat de verzameling $ X = \{a,b\} $ precies vier verschillende topologische structuren toelaat.

Voorbeeld 2

Laten we nu een iets complexer geval bekijken: een verzameling met drie elementen.

$$ X = \{ a,b,c \} $$

We willen nagaan of de volgende familie van deelverzamelingen een topologie op $X$ vormt:

$$ T_3 = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \} $$

Om dit te verifiëren, controleren we eerst of $ T_3 $ zowel de lege verzameling als de volledige verzameling $X = \{a,b,c\}$ bevat. Dat is inderdaad het geval, dus de eerste voorwaarde is voldaan.

Vervolgens bekijken we de geslotenheid onder willekeurige unies. We zien echter dat de unie $ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} $ niet voorkomt in $T_3$. Dat betekent dat $T_3$ niet voldoet aan de tweede voorwaarde.

$$ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin T $$

Dit ene tegenvoorbeeld is voldoende om te concluderen dat $T_3$ geen topologie op $X$ vormt.

Aangezien een van de fundamentele eisen niet wordt nageleefd, hoeven we de eigenschap van geslotenheid onder doorsneden niet verder te controleren.

Met dezelfde methode kun je ook complexere verzamelingen analyseren en bepalen welke families van deelverzamelingen wel of niet een geldige topologie vormen.