De onderste-limiet-topologie

In de onderste-limiet-topologie wordt een open verzameling opgevat als elke mogelijke vereniging van halfopen intervallen van de vorm [a, b), waarbij a < b. In zo'n interval hoort de linkerkant er dus bij, maar de rechterkant niet.

Dit soort intervallen vormt de bouwstenen van deze topologie. We noemen ze de basisverzamelingen:

$$ B = \{ [a,b) \subset \mathbb{R} \mid a \lt b \} $$

Elk element van deze basis is een interval dat zijn linkergrens insluit en zijn rechtergrens uitsluit.

Opmerking : Deze topologie verschilt van de standaardtopologie op de reële getallen (\(\mathbb{R}\)), waar open intervallen van de vorm (a, b) worden gebruikt die beide uiteinden uitsluiten.

De onderste-limiet-topologie is een klassiek voorbeeld in de topologie, omdat ze goed laat zien hoe de keuze van een topologie bepaalt wat we precies als een open verzameling beschouwen.

In dit systeem worden de intervallen [a, b) dus als open beschouwd, ook al zijn ze dat niet in de gebruikelijke topologie op \(\mathbb{R}\).

Een concreet voorbeeld

We kunnen de onderste-limiet-topologie concreet maken door te kijken naar de reële getallen \(\mathbb{R}\) met als open verzamelingen alle halfopen intervallen van de vorm [a, b).

Voorbeelden zijn [0, 2), [1, 4) en [-4, 2). De verzameling van al deze links-halfopen intervallen vormt samen de basis van de onderste-limiet-topologie.

Dit voorbeeld maakt duidelijk hoe een kleine aanpassing in de definitie van 'openheid' leidt tot een topologie met andere eigenschappen dan de standaardversie die we gewend zijn.