De topologie van het bijzondere punt

De topologie van het bijzondere punt op een verzameling $ X $ met een vast punt $ p $ wordt gedefinieerd als de verzameling van alle deelverzamelingen van $ X $ die ofwel leeg zijn, ofwel het punt $ p $ bevatten.

Met andere woorden, deze topologie omvat de lege verzameling, de volledige verzameling $ X $, en alle deelverzamelingen waarin het punt $ p $ voorkomt. Zodra een deelverzameling het punt $ p $ bevat, behoort zij automatisch tot deze topologie.

In sommige handboeken wordt dit ook de « topologie van het vaste punt » genoemd.

Opmerking. Om van een echte topologie te kunnen spreken, moet een familie van verzamelingen voldoen aan drie basisvoorwaarden: ze bevat de lege en de volledige verzameling, ze is gesloten onder willekeurige unies en onder eindige doorsneden.

Voorbeeld

Neem de verzameling $ X = \{a, b, c\} $, waarbij $ a $ het gekozen punt is. De topologie van het bijzondere punt die bij $ a $ hoort, bestaat uit de volgende verzamelingen:

De lege verzameling: $ \emptyset $
De volledige verzameling: $ X = \{a, b, c\} $
Alle deelverzamelingen die $ a $ bevatten: $ \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} $

De bijbehorende topologie is dus:

$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$

We kunnen eenvoudig controleren dat deze familie voldoet aan de voorwaarden van een topologie:

Ze bevat de lege verzameling en de volledige verzameling.
Ze is gesloten onder willekeurige unies: elke unie van verzamelingen die $ a $ bevatten (met uitzondering van de lege verzameling) bevat opnieuw $ a $ en behoort dus tot $ T $.
Ze is gesloten onder eindige doorsneden: de doorsnede van een eindig aantal verzamelingen uit $ T $ bevat, tenzij ze leeg is, altijd $ a $ en blijft dus in $ T $.

We kunnen dus besluiten dat deze constructie een geldig voorbeeld vormt van een topologie op $ X $. Het is een eenvoudig maar illustratief model dat helpt de basisprincipes van topologische structuren beter te begrijpen.