Topologie met uitgesloten punt

De topologie met uitgesloten punt op een verzameling $X$ is een bijzonder type topologische structuur $T$. Ze wordt gevormd door één specifiek punt $p$ uit $X$ buiten beschouwing te laten, wat leidt tot een interessante en niet-triviale manier om open verzamelingen te definiëren.

De verzamelingen die deel uitmaken van deze topologie zijn als volgt :

De lege verzameling ($Ø$)
De gehele verzameling $X$
Alle deelverzamelingen van $X$ die het punt $p$ niet bevatten

Een deelverzameling van $X$ is dus open in de topologie met uitgesloten punt als, en alleen als, zij ofwel leeg is, of de hele verzameling vormt, of geen enkel element $p$ bevat.

Deze definitie voldoet aan de drie basisaxioma's van een topologische ruimte, waardoor het een volwaardige topologie is.

Opmerking : Deze topologie is interessant omdat ze gebaseerd is op het weglaten van één enkel punt. Dat lijkt eenvoudig, maar het veroorzaakt vaak onverwachte eigenschappen die inzicht geven in hoe topologische structuren werken.

Voorbeeld

Beschouw de verzameling $X$ met drie elementen :

$$ X = \{a, b, c\} $$

We kiezen $p = a$ als het uitgesloten punt.

De topologie met uitgesloten punt op $X$ bestaat dan uit de volgende verzamelingen :

De lege verzameling : $Ø$
De gehele verzameling : $X = \{a, b, c\}$
De deelverzamelingen die $a$ niet bevatten : $\{b\}, \{c\}, \{b, c\}$

Daaruit volgt de topologie :

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

We kunnen nu controleren dat $T$ voldoet aan de axioma's van een topologie :

Geslotenheid onder willekeurige unies :
Bijvoorbeeld, $\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}$ en $\{b\} \cup \emptyset = \{b\}$ : beide verzamelingen liggen binnen $T$.
Geslotenheid onder eindige doorsnedes :
Bijvoorbeeld, $\{b\} \cap \{c\} = \emptyset$ en $\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}$ : ook deze verzamelingen behoren tot $T$.
Aanwezigheid van de lege en de gehele verzameling : zowel $\emptyset$ als $X$ behoren tot de topologie.

Dit voorbeeld laat goed zien hoe het uitsluiten van slechts één punt (in dit geval $a$) voldoende is om een geldige topologische structuur te vormen. Ondanks haar eenvoud biedt deze constructie een nuttige manier om het gedrag van open verzamelingen beter te begrijpen.