Het onderscheid tussen fijnere en grovere topologieën
In de topologie vergelijken we vaak verschillende manieren waarop een verzameling open verzamelingen kan bevatten. We spreken dan van een fijnere of een grovere topologie op dezelfde verzameling \( X \).
- Fijnere topologie
Een topologie \( \tau \) op \( X \) heet fijner dan een andere als zij meer open verzamelingen bevat. Er zijn dus meer mogelijkheden om punten van elkaar te onderscheiden. - Grovere topologie
Een topologie is grover als zij minder open verzamelingen bevat. Ze is eenvoudiger van structuur en maakt minder onderscheid tussen punten.
Een eenvoudig voorbeeld
Neem de verzameling \( X = \{a, b\} \) en definieer daarop twee topologieën:
- De eerste topologie \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \) is de triviale topologie, waarin alleen de lege verzameling en de hele ruimte open zijn.
- De tweede topologie \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} \) bevat één extra open verzameling, namelijk \( \{a\} \).
Omdat \( \tau_2 \) meer open verzamelingen heeft, noemen we haar fijner dan \( \tau_1 \). Omgekeerd is \( \tau_1 \) grover dan \( \tau_2 \).
Wat heeft dit te maken met continuïteit?
Een belangrijke eigenschap: als een functie continu is met betrekking tot een grovere topologie, dan blijft ze ook continu in elke fijnere topologie. Het omgekeerde is niet altijd waar.
Om te bepalen of een functie continu is, kijkt men of het prebeeld van elke open verzameling in het codomein open is in het domein.
Hoe fijner de topologie, hoe meer open verzamelingen moeten worden gecontroleerd. Dat maakt de voorwaarde strenger. In een grovere topologie zijn er minder open verzamelingen, waardoor de continuïteit eenvoudiger te verifiëren is.
Met andere woorden: een functie die continu is in een grovere topologie, is automatisch ook continu in elke fijnere topologie. Maar een functie die continu is in een fijnere topologie hoeft dat niet te zijn in een grovere.
Voorbeeld 1
We nemen opnieuw \( X = \{a, b\} \) met twee topologieën:
- Grovere topologie: \( \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} \)
- Fijnere topologie: \( \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} \)
Definieer een functie \( f: X \to Y \) als volgt:
$$ f(a)=1, \quad f(b)=1 $$
De functie kent beide elementen van \( X \) dezelfde waarde toe en is dus constant.
Controleer de continuïteit in \( \tau_2 \):
- Het prebeeld \( f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} \) is open in \( \tau_2 \).
- Het prebeeld van de lege verzameling \( f^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) is altijd open.
Daarmee is \( f \) continu in \( \tau_2 \). Omdat \( \tau_1 \) grover is, blijft \( f \) ook daarin continu. In \( \tau_1 \) zijn immers alleen \( \varnothing \) en \( \{a, b\} \) open, en die komen precies overeen met de prebeelden van \( f \).
Conclusie: \( f \) is continu in zowel \( \tau_2 \) als \( \tau_1 \).
Voorbeeld 2
Beschouw nu een andere functie \( g : X \to Y \):
$$ g(a) = 1, \quad g(b) = 2 $$
Controleer opnieuw de continuïteit in \( \tau_2 \):
- Het prebeeld \( g^{-1}(\varnothing) = \varnothing \) is open.
- Het prebeeld \( g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} \) is open.
- Het prebeeld \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) is open.
- Het prebeeld \( g^{-1}(\{2\}) = \{b\} \) is open.
Alle prebeelden van open verzamelingen in \( Y \) zijn open in \( X \), dus \( g \) is continu in \( \tau_2 \).
In \( \tau_1 \) is dat anders. De topologie \( \tau_1 \) bevat alleen \( \varnothing \) en \( \{a, b\} \). Het prebeeld \( g^{-1}(\{1\}) = \{a\} \) is daar niet open.
Daarom is \( g \) niet continu in de grovere topologie \( \tau_1 \).
Samenvatting
Een fijnere topologie bevat meer open verzamelingen en maakt het moeilijker om continuïteit aan te tonen. Een grovere topologie bevat minder open verzamelingen, waardoor de continuïteitsvoorwaarde eenvoudiger is. Elke functie die continu is in een grovere topologie, blijft dat in elke fijnere, maar niet omgekeerd.
