De inclusie-eigenschap van het inwendige

Als een verzameling $ A $ een deelverzameling is van een verzameling $ B $, dan is ook het inwendige van $ A $ een deelverzameling van het inwendige van $ B $: $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Dit resultaat volgt onmiddellijk uit het feit dat elke open verzameling die in $ A $ vervat is, noodzakelijk ook in $ B $ vervat is.

Met andere woorden: de inwendige-operator is monotoon met betrekking tot de inclusierelatie tussen verzamelingen.

Illustratief voorbeeld
Bewijs

Illustratief voorbeeld

Beschouw twee verzamelingen $ A $ en $ B $ in $ \mathbb{R} $, uitgerust met de gebruikelijke topologie.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Het is onmiddellijk duidelijk dat:

$$ A \subseteq B $$

In de standaardtopologie op $ \mathbb{R} $ wordt het inwendige van een verzameling gedefinieerd als de vereniging van alle open verzamelingen die erin vervat zijn.

Inwendige van A
De verzameling $ A = [1, 3] $ bevat het open interval $ (1, 3) $. Hieruit volgt: \[
\text{Int}(A) = (1, 3)
\]
Inwendige van B
Op analoge wijze bevat $ B = [0, 4] $ het open interval $ (0, 4) $, zodat: \[
\text{Int}(B) = (0, 4)
\]

Hieruit blijkt dat $ \text{Int}(A) = (1, 3) $ inderdaad een deelverzameling is van $ \text{Int}(B) = (0, 4) $.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Dit voorbeeld illustreert op duidelijke wijze dat inclusie tussen verzamelingen zich ook weerspiegelt in de inclusie van hun inwendigen binnen $ \mathbb{R} $, uitgerust met de gebruikelijke topologie.

Bewijs

Zij $ A $ en $ B $ twee deelverzamelingen van een topologische ruimte $ X $, waarbij $ A \subseteq B $.

We tonen aan dat $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $.

Volgens de definitie is het inwendige van een verzameling $ A $, genoteerd als $ \text{Int}(A) $, de vereniging van alle open verzamelingen die in $ A $ vervat zijn.

Met andere woorden: het is de grootste open deelverzameling die volledig in $ A $ ligt.

Aangezien $ A \subseteq B $, is elke open deelverzameling van $ A $ noodzakelijk ook een deelverzameling van $ B $.

Daaruit volgt dat $ \text{Int}(A) $ een open deelverzameling van $ B $ is.

Maar $ \text{Int}(B) $ is per definitie de grootste open deelverzameling van $ B $. Hieruit volgt onmiddellijk:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

We besluiten dus dat de inwendige-operator de inclusierelatie tussen deelverzamelingen bewaart.

Daarmee is het bewijs voltooid.