De monotoniciteit van de afsluiting
De monotoniciteit van de afsluiting betekent dat, zodra \( A \subseteq B \), ook de afsluiting van \( A \) vervat is in de afsluiting van \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Deze eigenschap lijkt op het eerste gezicht vanzelfsprekend. Toch is het de moeite waard om haar expliciet te bespreken, omdat ze een sleutelrol speelt in het begrijpen van hoe topologische begrippen zich tot elkaar verhouden.
Een eenvoudige voorstelling maakt het idee meteen helder. Denk aan een kleine doos die volledig in een grotere doos zit. Zodra de grotere doos gesloten is, kan de kleinere niet open blijven. De afsluiting volgt precies deze logica van insluiting.
Illustratief voorbeeld
We bekijken een bekende situatie: de reële getallenlijn \( \mathbb{R} \) met haar standaardtopologie.
In deze topologie zijn de open verzamelingen niets anders dan open intervallen.
We beschouwen de volgende twee verzamelingen:
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
Het is meteen duidelijk dat elk punt van \( A \) ook tot \( B \) behoort:
\[ A \subseteq B \]
Afsluiting van \( A \)
De verzameling \( A \) is het open interval \( (0, 1) \). Om de afsluiting te bepalen, voegen we alle punten toe die willekeurig dicht benaderd kunnen worden door punten uit \( A \).
Hier zijn dat de punten \( 0 \) en \( 1 \). Elke omgeving van deze waarden snijdt immers het interval \( (0, 1) \).
We krijgen dus:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Afsluiting van \( B \)
De verzameling \( B \) is het gesloten interval \([0, 2]\). Dit interval bevat al zijn eigen adherentiepunten.
Omdat \( B \) gesloten is, verandert de afsluiting niet:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Conclusie
Als we beide resultaten vergelijken, zien we onmiddellijk dat:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Dit eenvoudige voorbeeld laat duidelijk zien dat de afsluiting de inclusierelatie tussen verzamelingen respecteert.
Formeel bewijs
We vertrekken opnieuw van de aanname:
\[ A \subseteq B \]
Volgens de definitie behoort een punt \( x \) tot \( \text{Cl}(A) \) als elke omgeving van \( x \) minstens één punt van \( A \) bevat.
Aangezien \( A \subseteq B \), bevat elke omgeving die een punt van \( A \) bevat automatisch ook een punt van \( B \).
Daaruit volgt dat elk punt van \( \text{Cl}(A) \) ook tot \( \text{Cl}(B) \) behoort.
We concluderen dus:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Hetzelfde resultaat kan worden afgeleid via een andere karakterisering van de afsluiting, namelijk als de doorsnede van alle gesloten verzamelingen die de gegeven verzameling bevatten.
Als \( A \subseteq B \), dan bevat elke gesloten verzameling die \( B \) bevat ook \( A \). De doorsnede van al deze gesloten verzamelingen, dat wil zeggen \( \text{Cl}(B) \), moet daarom ook \( \text{Cl}(A) \) bevatten.
Opnieuw komen we tot dezelfde conclusie:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Deze eigenschap volgt rechtstreeks uit de definitie van de afsluiting en vormt een helder voorbeeld van het structurele gedrag van dit fundamentele topologische begrip.
