Equivalentie tussen een open verzameling en haar inwendige

Een verzameling \( A \) in een topologische ruimte \( X \) heet open dan en slechts dan als zij samenvalt met haar inwendige: $$ A = \text{Int}(A) $$

Met andere woorden: een verzameling is open wanneer elk punt ervan een open omgeving heeft die volledig binnen de verzameling ligt. Dit idee vormt een van de kernbegrippen van de topologie.

Daaruit volgt dat een verzameling precies dan open is wanneer zij samenvalt met haar inwendige, oftewel wanneer zij alle open verzamelingen bevat die in haar besloten liggen.

Het inwendige van een verzameling, aangeduid met \( \text{Int}(A) \), is de grootste open deelverzameling van \( A \). Het ontstaat als de vereniging van alle open verzamelingen die volledig in \( A \) zijn opgenomen.

Illustratief voorbeeld

We beschouwen de topologische ruimte \( \mathbb{R} \), voorzien van de gebruikelijke topologie, waarin elk open interval een open verzameling is.

Aan de hand van twee eenvoudige voorbeelden onderzoeken we wanneer een verzameling open is, gebruikmakend van de karakterisering \( A = \text{Int}(A) \).

Voorbeeld 1

Neem het open interval \( A = (0, 1) \).

$$ A = (0, 1) $$

Het inwendige van deze verzameling valt samen met het interval zelf:

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

Omdat \( A \) gelijk is aan zijn inwendige, concluderen we dat \( A \) een open verzameling is.

Voorbeeld 2

Beschouw nu het gesloten interval \( B = [0,1] \).

$$ B = [0, 1] $$

Het inwendige van \( B \) is het open interval \( (0,1) \), waarbij de grenspunten niet worden meegerekend.

$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$

Omdat \( B \neq \text{Int}(B) \), volgt dat \( B \) geen open verzameling is.

Opmerking : Deze voorbeelden maken duidelijk hoe het begrip inwendige helpt om te bepalen of een verzameling open is.

Bewijs

We tonen nu aan dat voor elke verzameling \( A \subseteq X \) geldt: \( A \) is open dan en slechts dan als \( A = \text{Int}(A) \).

Het bewijs bestaat uit twee stappen.

1] Als \( A \) open is, dan geldt \( \text{Int}(A) = A \)

Stel dat \( A \) open is. Volgens de definitie heeft elk punt \( x \in A \) een open omgeving \( U \subseteq A \).

Daaruit volgt dat elk punt van \( A \) behoort tot \( \text{Int}(A) \), zodat:

$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$

Aangezien \( \text{Int}(A) \) per definitie een deelverzameling van \( A \) is, geldt ook:

$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$

Deze dubbele inclusie leidt onmiddellijk tot:

$$ A = \text{Int}(A) $$

2] Als \( A = \text{Int}(A) \), dan is \( A \) open

Veronderstel nu dat \( A = \text{Int}(A) \).

Zij \( x \in A \). Dan geldt automatisch dat \( x \in \text{Int}(A) \), en dus bestaat er per definitie een open verzameling \( U \subseteq A \) waarvoor \( x \in U \).

Elk punt van \( A \) beschikt dus over een open omgeving die volledig in \( A \) ligt. Hieruit volgt dat \( A \) open is.

3] Conclusie

We hebben daarmee de volgende equivalentie aangetoond: een verzameling \( A \subseteq X \) is open dan en slechts dan als zij samenvalt met haar inwendige, met andere woorden:

$$ A = \text{Int}(A) $$

Dit criterium vormt een fundamenteel hulpmiddel bij het herkennen en begrijpen van open verzamelingen binnen de topologie.