Inclusie van Open Verzamelingen in het Inwendige van een Verzameling

Zij $ U $ een open deelverzameling van een topologische ruimte $ X $ en veronderstel dat $ U \subseteq A $. Dan ligt $ U $ volledig in het inwendige van $ A $ : $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Het inwendige van een verzameling $ A $, genoteerd als $\text{Int}(A)$, is de grootste open deelverzameling die geheel binnen $ A $ ligt. Intuïtief gaat het om alle punten van $ A $ waarvoor een volledige “open omgeving” bestaat die geen enkel punt buiten $ A $ raakt.

Daaruit volgt een belangrijk en vaak gebruikt principe: elke open deelverzameling $ U $ die in $ A $ is opgenomen, moet automatisch ook in $\text{Int}(A)$ liggen. Het inwendige verzamelt namelijk alle open deelverzamelingen die in $ A $ passen.

Formeel kan dit worden uitgedrukt als:

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ open is in } X \} $$

Omdat $ U $ zelf een open deelverzameling is en bovendien in $ A $ ligt, behoort zij tot deze familie. Zij draagt dus rechtstreeks bij aan de unie die het inwendige van $ A $ vormt.

Een Concreet Voorbeeld
Bewijs

Een Concreet Voorbeeld

Om dit idee tastbaar te maken, bekijken we een eenvoudig voorbeeld in de topologische ruimte $ \mathbb{R} $, uitgerust met de gebruikelijke topologie. In deze context zijn de open verzamelingen precies de open intervallen en hun willekeurige unies.

Neem:

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

Het interval $ U = (1, 2) $ is open in $\mathbb{R}$, en dus een geldig voorbeeld van een open deelverzameling.

Bovendien geldt $ U \subseteq A $, omdat elk punt tussen 1 en 2 ook tot het interval $[0, 3]$ behoort.

Het inwendige van $ A = [0, 3] $ is het grootste open interval dat volledig binnen $ A $ ligt. Dat is het interval $(0, 3)$.

$$ \text{Int}(A) = (0,3) $$

Het is dan meteen duidelijk dat $ U = (1, 2) $ volledig in $(0, 3)$ ligt, oftewel:

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Dit voorbeeld laat zien dat elke open deelverzameling van $ A $ automatisch een deel vormt van het inwendige van $ A $.

Bewijs

Zij $ X $ een topologische ruimte, $ A \subseteq X $, en $ U $ een open deelverzameling van $ X $ waarvoor geldt dat $ U \subseteq A $.

We vertrekken van de volgende hypothesen:

$ U $ is een open deelverzameling van $ X $;
$ U \subseteq A $.

Volgens de definitie bestaat het inwendige van $ A $ uit de unie van alle open deelverzamelingen die volledig in $ A $ liggen.

Aangezien $ U $ aan beide voorwaarden voldoet, maakt zij deel uit van deze familie van open verzamelingen. Bijgevolg is $ U $ opgenomen in hun unie, dat wil zeggen in $\text{Int}(A)$.

Daaruit volgt rechtstreeks dat $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Met andere woorden: elke open deelverzameling die in een verzameling $ A $ ligt, ligt noodzakelijkerwijs ook in het inwendige van $ A $. Hiermee is de eigenschap aangetoond.