Insluiting van de afsluiting in een gesloten verzameling

In een topologische ruimte $ X $ geldt een fundamentele eigenschap. Als een verzameling $ C $ gesloten is en een deelverzameling $ A $ voldoet aan $ A \subseteq C $, dan ligt ook de afsluiting van $ A $, genoteerd als $ \operatorname{Cl}(A) $, volledig binnen $ C $ : $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ gesloten } \ \Rightarrow \ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Deze eigenschap volgt rechtstreeks uit de betekenis van de afsluiting. De afsluiting van $ A $ is namelijk het kleinste gesloten deel van $ X $ dat alle punten van $ A $ bevat. Omdat $ C $ zelf al een gesloten verzameling is die $ A $ omvat, moet zij automatisch ook de afsluiting van $ A $ bevatten.

Intuïtief gezegd: zodra een verzameling zich binnen een gesloten geheel bevindt, kan haar afsluiting dat gesloten geheel niet verlaten.

Een concreet voorbeeld
Bewijs

Een concreet voorbeeld

We bekijken de topologische ruimte $ X = \mathbb{R} $, de reële getallenlijn met de gebruikelijke topologie.

In deze topologie zijn de open verzamelingen precies de open intervallen.

Neem de gesloten verzameling $ C = [0,2] $ :

$$ C = [0,2] $$

Kies nu een echte deelverzameling van $ C $, bijvoorbeeld het open interval $ A = (0,1) $ :

$$ A = (0,1) $$

We bepalen nu de afsluiting van $ A $ :

De afsluiting van $ A $, aangeduid met $ \operatorname{Cl}(A) $, is het kleinste gesloten deel van $ \mathbb{R} $ dat alle punten van $ A $ bevat.

In dit geval is dat het gesloten interval $ [0,1] $. Dit interval bevat niet alleen alle punten van $ A $, maar ook de ophopingspunten 0 en 1.

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$

We hadden :

$$ A = (0,1) \subseteq C = [0,2] $$

Volgens de eigenschap volgt hieruit onmiddellijk :

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

En inderdaad, aangezien $ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $, geldt duidelijk :

$$ [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

Dit bevestigt dat zowel $ A $ als zijn afsluiting volledig in $ C $ liggen.

Het voorbeeld laat zien dat de afsluiting geen nieuwe punten toevoegt buiten een gesloten omhulling waarin de oorspronkelijke verzameling al ligt.

Bewijs

Zij $ A \subseteq C \subseteq X $, waarbij $ C $ gesloten is in de topologische ruimte $ X $.

Volgens de definitie is het complement van $ C $, namelijk $ X \setminus C $, een open verzameling.

De afsluiting van $ A $, genoteerd als $ \operatorname{Cl}(A) $, is het kleinste gesloten deel van $ X $ dat $ A $ bevat. Zij kan worden opgevat als de doorsnede van alle gesloten verzamelingen van $ X $ die $ A $ bevatten.

Aangezien $ C $ zelf een gesloten verzameling is die $ A $ bevat, behoort zij tot deze familie van verzamelingen.

Daaruit volgt dat de doorsnede van al deze gesloten verzamelingen, en dus ook $ \operatorname{Cl}(A) $, noodzakelijkerwijs een deelverzameling van $ C $ is :

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Samengevat geldt dat, omdat $ C $ reeds gesloten is en $ A $ volledig omvat, de afsluiting van $ A $ zich uitsluitend binnen $ C $ kan bevinden.

Dit besluit het bewijs.