Karakterisering van gesloten verzamelingen
Een verzameling \( A \) heet gesloten dan en slechts dan wanneer haar afsluiting samenvalt met de verzameling zelf binnen de beschouwde topologische ruimte: $$ A = \text{Cl}(A) $$
Concreet voorbeeld
We bekijken de topologische ruimte \( \mathbb{R} \), uitgerust met de gebruikelijke topologie, en de verzameling \( A = [0, 1] \).
Een belangrijke intuïtieve eigenschap van gesloten verzamelingen is dat zij al hun ophopingspunten bevatten. In het geval van het interval \( [0, 1] \) zijn dat precies alle punten van het interval zelf, inclusief de eindpunten 0 en 1.
Omdat geen enkel ophopingspunt buiten \( A \) ligt, kunnen we besluiten dat deze verzameling gesloten is.
Laten we dit nu ook formeel verifiëren door de afsluiting van \( A \) te bepalen.
In de gebruikelijke topologie van \( \mathbb{R} \) bevat het interval \( [0, 1] \) al zijn ophopingspunten. De afsluiting levert daarom geen nieuwe punten op:
$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$
Daarmee krijgen we onmiddellijk:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
Dit voorbeeld laat zien dat \( A = [0, 1] \) gesloten is juist omdat het samenvalt met zijn afsluiting.
Het illustreert bovendien het algemene principe dat gesloten verzamelingen precies die verzamelingen zijn die gelijk zijn aan hun afsluiting.
Bewijs
We baseren ons op enkele kernbegrippen uit de topologie:
- Afsluiting van een verzameling: De afsluiting van een verzameling \( A \), genoteerd als \( \text{Cl}(A) \), bestaat uit alle punten van \( A \) samen met alle punten die willekeurig dicht bij \( A \) liggen. Formeel: \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{elke omgeving van } x \text{ minstens één punt van } A \text{ bevat} \} \]
- Gesloten verzameling: Een verzameling \( A \) heet gesloten wanneer zij al haar ophopingspunten bevat. Dit kan compact worden samengevat als: \( A \) is gesloten \( \iff A = \text{Cl}(A) \).
We tonen deze equivalentie nu in beide richtingen aan.
1] Is \( A \) gesloten, dan geldt \( A = \text{Cl}(A) \)
Veronderstel dat \( A \) gesloten is. Volgens de definitie behoren alle ophopingspunten van \( A \) tot \( A \).
De afsluiting van \( A \) bestaat uit de punten van \( A \) samen met al zijn ophopingspunten. Omdat deze laatste al in \( A \) liggen, volgt:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{ophopingspunten van } A \} = A $$
Hieruit volgt rechtstreeks:
$$ A = \text{Cl}(A) $$
2] Geldt \( A = \text{Cl}(A) \), dan is \( A \) gesloten
Veronderstel nu dat \( A = \text{Cl}(A) \). De afsluiting bevat per definitie alle ophopingspunten van \( A \).
Als deze afsluiting samenvalt met \( A \), dan moeten al deze ophopingspunten in \( A \) zelf liggen. Dat betekent precies dat \( A \) al zijn ophopingspunten bevat.
We concluderen dus dat \( A \) een gesloten verzameling is.
