Sluiting van het complement en het complement van het inwendige van een verzameling
De sluiting van het complement van een verzameling \( A \) is gelijk aan het complement van het inwendige van \( A \): $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Deze relatie vormt een klassiek en belangrijk resultaat uit de topologie. Zij laat zien hoe de begrippen sluiting en inwendig op een natuurlijke manier met elkaar samenhangen via het nemen van complementen binnen een topologische ruimte.
Een concreet voorbeeld
We bekijken de topologische ruimte \( X = \mathbb{R} \), uitgerust met de gebruikelijke topologie. In deze setting zijn de open verzamelingen precies de unies van open intervallen.
Neem de deelverzameling \( A \subseteq \mathbb{R} \), gedefinieerd als het gesloten interval \( A = [1,2] \).
Om de bovenstaande gelijkheid inzichtelijk te maken, voeren we de berekening stap voor stap uit. Eerst bepalen we de sluiting van het complement van \( A \). Daarna berekenen we het complement van het inwendige van \( A \).
1] Sluiting van het complement van \( A \)
Het complement van \( A \) in \( \mathbb{R} \) is:
$$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Om de sluiting van deze verzameling te vinden, voegen we alle aanhechtingspunten toe van \( (-\infty, 1) \cup (2, \infty) \).
Deze verzameling is een unie van open intervallen. De punten \( 1 \) en \( 2 \) zijn aanhechtingspunten, omdat elke buurt van \( 1 \) punten bevat uit \( (-\infty,1) \) en elke buurt van \( 2 \) punten bevat uit \( (2,\infty) \).
Daarom geldt:
$$ \text{Cl}(X - A) = \text{Cl}((-\infty, 1) \cup (2, \infty)) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Complement van het inwendige van \( A \)
Het inwendige van \( A = [1,2] \) is de grootste open verzameling die volledig in \( A \) ligt:
$$ \text{Int}(A) = (1,2) $$
Het complement van dit inwendige in \( \mathbb{R} \) is:
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Conclusie
Beide berekeningen leveren exact dezelfde verzameling op:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Hiermee wordt de gelijkheid bevestigd:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Bewijs
Zij \( A \subseteq X \) een deelverzameling van een topologische ruimte \( X \).
De sluiting van het complement van \( A \) bestaat uit alle punten van \( X - A \), aangevuld met de punten waarvoor elke buurt minstens één punt uit \( X - A \) bevat:
$$ \text{Cl}(X - A) $$
Het complement van het inwendige van \( A \) bevat precies die punten die geen inwendig punt van \( A \) zijn:
$$ X - \text{Int}(A) $$
Om aan te tonen dat \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\), bewijzen we beide inclusies afzonderlijk.
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Zij \( x \in \text{Cl}(X - A) \). Dan bevat elke buurt van \( x \) minstens één punt uit \( X - A \). Daardoor kan \( x \) geen inwendig punt van \( A \) zijn, want in dat geval zou er een buurt van \( x \) bestaan die volledig in \( A \) ligt. Dus geldt \( x \notin \text{Int}(A) \) en daarmee \( x \in X - \text{Int}(A) \). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Zij \( x \in X - \text{Int}(A) \). Dan is \( x \) geen inwendig punt van \( A \). Dat betekent dat elke buurt van \( x \) ten minste één punt bevat dat niet tot \( A \) behoort, dus een punt uit \( X - A \). Hieruit volgt dat \( x \in \text{Cl}(X - A) \).
Aangezien beide inclusies zijn aangetoond, volgt de gewenste gelijkheid:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Deze eigenschap maakt duidelijk hoe sluiting en inwendig elkaars complementaire tegenhangers zijn binnen de topologie, en vormt een nuttig hulpmiddel bij het analyseren van verzamelingen in topologische ruimten.
Het bewijs is hiermee voltooid.
