Diedros

Un diedro es una figura geométrica del espacio formada por dos semiplanos, denominados caras, que tienen como borde una misma recta, llamada arista.

Este concepto es fundamental en la geometría tridimensional.

Los dos semiplanos que forman las caras del diedro dividen el espacio en dos regiones, cada una de las cuales constituye un diedro.

Las caras forman la frontera del diedro.

Los puntos situados en el interior de un diedro y que no pertenecen a sus caras se denominan puntos interiores.

A cada diedro se le asocia un ángulo diedro, que expresa su abertura. Su amplitud se determina mediante una sección obtenida con un plano que corta la arista.

Si el plano π es perpendicular a la arista (r), la intersección determina la sección normal del diedro.

Diferencia entre un diedro y un poliedro: Un diedro es una figura geométrica del espacio formada por dos semiplanos que tienen una misma recta como borde común. Un poliedro, en cambio, es un sólido delimitado por superficies planas llamadas caras. Las rectas en las que se encuentran dos caras se denominan aristas, y los puntos donde confluyen varias aristas se llaman vértices. Ejemplos de poliedros son el cubo, la pirámide y el prisma. Por tanto, mientras que un diedro está determinado por dos semiplanos con una arista común, un poliedro está formado por varias caras planas que delimitan un sólido.

Secciones de un Diedro

La sección de un diedro es el ángulo plano obtenido al intersectar el diedro con un plano que corta su arista.

Los lados de este ángulo son las intersecciones del plano secante con las dos caras del diedro.

De este modo, una sección permite representar en un plano la abertura de una figura tridimensional como el diedro.

En particular, se habla de sección normal cuando el plano que corta el diedro es perpendicular a su arista.

La amplitud del ángulo diedro se define mediante la amplitud de su sección normal.

La sección normal permite también clasificar los diedros como convexos o cóncavos:

• Diedro Convexo
  Un diedro convexo tiene un ángulo diedro menor de 180°. Su sección normal es, por tanto, un ángulo convexo.
• Diedro Cóncavo
  Un diedro cóncavo tiene un ángulo diedro mayor de 180°. Su sección normal es, por tanto, un ángulo cóncavo.

Nota: Cuando la sección normal mide exactamente 180°, las dos caras son semiplanos opuestos pertenecientes a un mismo plano y el diedro se denomina diedro llano. Si las caras coinciden, pueden considerarse dos casos límite: el diedro nulo, de amplitud 0°, y el diedro completo, de amplitud 360°.

Según la amplitud de su ángulo diedro, un diedro convexo también puede clasificarse como recto, agudo u obtuso.

• Diedro Recto
  Un diedro recto tiene una sección normal de 90°. Su ángulo diedro mide, por tanto, 90°.
• Diedro Agudo
  Un diedro agudo tiene una sección normal cuya amplitud es menor de 90°.
• Diedro Obtuso
  Un diedro obtuso tiene una sección normal cuya amplitud es mayor de 90° y menor de 180°.
  

En función de las amplitudes de sus ángulos diedros, dos diedros pueden ser complementarios, suplementarios o explementarios.

• Diedros Complementarios
  Dos diedros son complementarios cuando la suma de las amplitudes de sus ángulos diedros es igual a 90°.
• Diedros Suplementarios
  Dos diedros son suplementarios cuando la suma de las amplitudes de sus ángulos diedros es igual a 180°.
• Diedros Explementarios
  Dos diedros son explementarios cuando la suma de las amplitudes de sus ángulos diedros es igual a 360°.

Ejemplo: Los diedros α y β son suplementarios porque la suma de las amplitudes de sus ángulos diedros es igual a 180°.

Congruencia de Diedros

Dos diedros son congruentes cuando sus secciones normales son congruentes.

De forma equivalente, dos diedros son congruentes cuando pueden superponerse mediante un movimiento rígido del espacio.

Por consiguiente, dos diedros congruentes tienen ángulos diedros de la misma amplitud.

Ejemplo: Los diedros α y β son congruentes porque sus secciones normales son congruentes y tienen una amplitud de 90°.

Diedros Opuestos en la Arista

Dos diedros se denominan diedros opuestos en la arista cuando tienen la misma arista y las caras de uno son las prolongaciones de las caras del otro.

Por ejemplo, los diedros α y α' son opuestos respecto a la arista.

Los diedros opuestos en la arista son siempre congruentes.

Esta propiedad es análoga a la de los ángulos opuestos por el vértice en geometría plana.

Diedros Consecutivos y Adyacentes

Los diedros pueden clasificarse como consecutivos o adyacentes según la disposición de sus caras:

• Diedros Consecutivos
  Dos diedros son consecutivos cuando tienen la misma arista y una cara común.
• Diedros Adyacentes
  Dos diedros son adyacentes cuando son consecutivos y, además, sus caras no comunes son semiplanos opuestos.

  Nota: Dos diedros adyacentes son también suplementarios, ya que la suma de las amplitudes de sus ángulos diedros es de 180°. Por ejemplo, los diedros α y β son consecutivos porque tienen la misma arista y una cara común. Además, son adyacentes porque sus caras no comunes son semiplanos opuestos.
  
  Del mismo modo, los pares α y β', α' y β', y α' y β son adyacentes. En cambio, los diedros α y α' son opuestos en la arista y no son consecutivos.

Notas Adicionales

A continuación se indican algunas propiedades adicionales de los diedros:

• Dos planos secantes determinan cuatro diedros, agrupados en dos pares de diedros opuestos en la arista.
• Dos planos son perpendiculares si determinan cuatro diedros rectos
  Como los diedros opuestos en la arista son congruentes y los diedros adyacentes son suplementarios, si uno de los cuatro diedros es recto, los otros tres también lo son.
  
• Dos semiplanos con una misma arista determinan dos diedros cuyas amplitudes suman 360°. Por tanto, son diedros explementarios. Si ninguno de ellos es llano, uno es convexo, con una amplitud menor de 180°, y el otro es cóncavo, con una amplitud mayor de 180°.
  
• Las secciones paralelas de un diedro son congruentes
  Las secciones paralelas π y π' de un diedro δ determinan ángulos congruentes, α ≅ α'.
  
• La suma de dos diedros consecutivos determina un nuevo diedro que tiene la misma arista y como caras las dos caras no comunes de los diedros iniciales.