Ejercicio 4 de cálculo integral
Vamos a calcular paso a paso la siguiente integral definida:
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^2} \, dx $$
El integrando \( \sqrt{1 - x^2} \) sugiere una conexión directa con las identidades trigonométricas. En particular, recordemos que
$$ \cos^2 \alpha + \sin^2 \alpha = 1 $$
que es la identidad pitagórica fundamental. A partir de ella se obtiene:
$$ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha $$ $$ \sqrt{\cos^2 \alpha} = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $$ $$ \cos \alpha = \sqrt{1 - \sin^2 \alpha} $$
Esta última igualdad es válida en intervalos donde \( \cos \alpha \ge 0 \). Precisamente esta relación nos permitirá simplificar la integral.
1. Cambio de variable
Aplicamos el método de integración por sustitución tomando:
$$ x = \sin(t) $$
En el intervalo considerado, la función seno es invertible, por lo que podemos escribir:
$$ t = \arcsin(x) $$
Derivamos respecto de \( t \):
$$ D[x] = D[\sin(t)] \quad \Rightarrow \quad dx = \cos(t) \, dt $$
Sustituimos ahora en la integral original:
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^2} \, dx = \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - x^2} \cdot \cos(t) \, dt $$
Reemplazando \( x = \sin(t) \), obtenemos:
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \sqrt{1 - \sin^2(t)} \cdot \cos(t) \, dt $$
Usando la identidad \( \sqrt{1 - \sin^2(t)} = \cos(t) \), el integrando se simplifica notablemente:
$$ \int_0^{\frac{1}{2}} \cos^2(t) \, dt $$
2. Ajuste de los límites
Al haber cambiado de variable, también debemos transformar los límites de integración:
$$ t = \arcsin(0) = 0 $$ $$ t = \arcsin\left(\frac{1}{2}\right) = \frac{\pi}{6} $$
Por lo tanto, la integral queda:
$$ \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos^2(t) \, dt $$
3. Uso de la identidad del ángulo doble
Para integrar \( \cos^2(t) \), utilizamos la identidad del ángulo doble del coseno:
\( \cos(2t) = 2\cos^2(t) - 1 \)
De donde se obtiene:
\( \cos^2(t) = \frac{\cos(2t) + 1}{2} \)
Sustituyendo:
$$ \int_0^{\frac{\pi}{6}} \frac{\cos(2t) + 1}{2} \, dt $$
Separamos la integral:
$$ \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} dt + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(2t) \, dt $$
La primera parte se calcula de inmediato:
$$ \frac{1}{2} [t]_0^{\frac{\pi}{6}} = \frac{\pi}{12} $$
Nos queda entonces:
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{2} \int_0^{\frac{\pi}{6}} \cos(2t) \, dt $$
Para resolver la segunda integral, multiplicamos y dividimos por 2:
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \int_0^{\frac{\pi}{6}} 2\cos(2t) \, dt $$
Como una primitiva de \( 2\cos(2t) \) es \( \sin(2t) \), obtenemos:
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \left[ \sin(2t) \right]_0^{\frac{\pi}{6}} $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \left( \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) - \sin(0) \right) $$
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \cdot \sin\left(\frac{\pi}{3}\right) $$
Sabemos que el seno de \( \pi/3 \) es \( \frac{\sqrt{3}}{2} \). Por tanto:
$$ \frac{\pi}{12} + \frac{1}{4} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt{3}}{8} $$
Resultado final
Finalmente, el valor de la integral definida es:
$$ \frac{2\pi + 3\sqrt{3}}{24} $$
Así concluimos el cálculo, combinando un cambio de variable trigonométrico con identidades fundamentales y una integración elemental.
