Finija i grublja topologija

U topologiji se često porede različite strukture definisane na istom skupu. Kada jedna topologija sadrži više otvorenih skupova od druge, kažemo da je finija, dok se ona s manjim brojem otvorenih skupova naziva grublja. Ovaj odnos je važan jer utiče na to kako posmatramo neprekidnost funkcija i osobine prostora.

Finija i grublja topologija: osnovna ideja
Jednostavan primjer
Zašto je to važno za neprekidnost
Primjer 1: konstantna funkcija
Primjer 2: funkcija koja nije neprekidna u grubljoj topologiji
Zaključak

Finija i grublja topologija: osnovna ideja

Finija topologija
Topologija $ \tau_1 $ je finija od topologije $ \tau_2 $ ako svaka otvorena podskupina iz $ \tau_2 $ pripada i $ \tau_1 $, odnosno ako važi $ \tau_2 \subseteq \tau_1 $. To znači da finija topologija ima više otvorenih skupova, pa daje „detaljniju" sliku prostora.
Grublja topologija
Topologija $ \tau_1 $ je grublja od $ \tau_2 $ ako $ \tau_1 \subseteq \tau_2 $. U tom slučaju, ima manje otvorenih skupova i pruža „grublje" ili opštije informacije o prostoru.

Jednostavan primjer

Posmatrajmo skup $ X = \{a, b\} $ i definišimo na njemu dvije topologije:

$ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $ - trivijalna topologija, gdje su jedini otvoreni skupovi prazan skup i cijeli skup.
$ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{a, b\}\} $ - topologija koja sadrži i skup $ \{a\} $.

Pošto $ \tau_2 $ ima dodatni otvoreni skup $ \{a\} $, ona je finija od $ \tau_1 $. Obrnuto, $ \tau_1 $ je grublja jer ima manje otvorenih skupova.

Zašto je to važno za neprekidnost

Ako je funkcija neprekidna u odnosu na grublju topologiju, biće neprekidna i u svakoj finijoj topologiji. Međutim, obrnuto ne mora važiti.

U topologiji kažemo da je funkcija neprekidna ako je inverzna slika svakog otvorenog skupa iz kodomena otvoreni skup u domenu. Što topologija ima više otvorenih skupova, to je taj uslov stroži. Zato je teže dokazati neprekidnost u finijoj topologiji nego u grubljoj.

Drugim riječima, svaka funkcija koja je neprekidna u grubljoj topologiji biće neprekidna i u svakoj finijoj, jer već zadovoljava sve potrebne uslove. Ali funkcija koja je neprekidna u finijoj topologiji ne mora biti neprekidna u grubljoj.

Primjer 1: konstantna funkcija

Uzmimo skup $ X = \{a, b\} $ i topologije:

Grublja: $ \tau_1 = \{\varnothing, \{a, b\}\} $
Finija: $ \tau_2 = \{\varnothing, \{a\}, \{b\}, \{a, b\}\} $

Definišimo funkciju $ f: X \to Y $ kao:

$$ f(a) = 1, \quad f(b) = 1 $$

Funkcija $ f $ dodjeljuje istu vrijednost svakom elementu, pa je to konstantna funkcija.

U finijoj topologiji $ \tau_2 $:

$ f^{-1}(\{1\}) = \{a, b\} $ je otvoren skup.
$ f^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ je takođe otvoren skup.

Zato je $ f $ neprekidna u $ \tau_2 $. Pošto je neprekidna u finijoj topologiji, ona je neprekidna i u grubljoj $ \tau_1 $, gdje je uslov još jednostavniji.

Primjer 2: funkcija koja nije neprekidna u grubljoj topologiji

Definišimo novu funkciju $ g: X \to Y $:

$$ g(a) = 1, \quad g(b) = 2 $$

U finijoj topologiji $ \tau_2 $:

$ g^{-1}(\{1\}) = \{a\} $ i $ g^{-1}(\{2\}) = \{b\} $ su otvoreni skupovi.
$ g^{-1}(\{1,2\}) = \{a, b\} $ i $ g^{-1}(\varnothing) = \varnothing $ su takođe otvoreni.

Funkcija $ g $ je, dakle, neprekidna u $ \tau_2 $.

U grubljoj topologiji $ \tau_1 $, međutim, skupovi $ \{a\} $ i $ \{b\} $ nisu otvoreni, pa inverzne slike $ g^{-1}(\{1\}) $ i $ g^{-1}(\{2\}) $ nisu otvorene. Zbog toga $ g $ nije neprekidna u $ \tau_1 $.

Zaključak

Finija topologija omogućava detaljniju strukturu prostora, dok grublja daje opštiji pogled. Što je topologija finija, to su uslovi za neprekidnost funkcije zahtjevniji. Zbog toga svaka funkcija koja je neprekidna u grubljoj topologiji ostaje neprekidna i u finijoj, ali ne i obrnuto.