Topologija generirana otvorenim pravougaonicima

Topologija generirana otvorenim pravougaonicima jedan je od najjednostavnijih i najjasnijih načina da se opiše struktura ravni $ \mathbb{R}^2 $. U ovoj topologiji otvoreni skupovi nastaju kao proizvoljne unije otvorenih pravougaonika, a svaki takav pravougaonik dobija se kao kartezijev produkt dvaju otvorenih intervala na osama $x$ i $y$. Na taj način dobijamo pregledan i intuitivan alat za razumijevanje topoloških svojstava dvodimenzionalnog prostora.

Topologija se gradi na bazi sastavljenoj od otvorenih pravougaonih okolina. Te okoline funkcionišu kao osnovni građevni elementi iz kojih se mogu formirati svi otvoreni skupovi. Ovaj pristup je posebno koristan jer otvara put ka posmatranju lokalne strukture prostora oko svake tačke.

Drugim riječima, podskup $ U \subseteq \mathbb{R}^2 $ biće otvoren ako za svaku svoju tačku $ (x, y) $ sadrži neki otvoreni pravougaonik koji ostaje potpuno unutar $ U $. Time se naglašava lokalna priroda otvorenih skupova, što je jedno od centralnih obilježja topologije.

Otvoreni pravougaonici tako postaju ključni alat u formalnom opisu euklidske topologije ravni.

$$ B = \{ (a, b) \times (c, d) \mid a < b,\ c < d \} $$

U ovoj notaciji realni brojevi $ a, b, c, d $ određuju granice pravougaonika po horizontalnom i vertikalnom smjeru, što omogućava njegovo precizno opisivanje.

Ovakva konstrukcija predstavlja alternativu standardnoj bazi euklidske topologije, koja se obično uvodi pomoću otvorenih kugli ili diskova. Uprkos različitom polaznom pristupu, obje verzije daju istu topologiju jer generišu identične otvorene skupove.

Napomena: Ovaj pristup odlično pokazuje da se ista topološka struktura može opisati različitim bazama. Bilo da biramo diskove ili pravougaonike, definicija otvorenosti ostaje ista jer sve te baze vode ka istim otvorenim skupovima.

Primjer otvorenog pravougaonika

Otvoreni pravougaonik u $ \mathbb{R}^2 $ definiše se kao kartezijev produkt dvaju otvorenih intervala. Jedan pripada osi apscisa, drugi osi ordinata, i zajedno čine jasan geometrijski objekt koji se lako vizualizuje.

Posmatrajmo intervale $ (1, 3) $ na osi $x$ i $ (2, 4) $ na osi $y$.

primjer otvorenog pravougaonika

Pravougaonik određen ovim intervalima obuhvata sve tačke $ (x, y) $ za koje vrijedi $ x \in (1, 3) $ i $ y \in (2, 4) $. U formalnom obliku to je skup $ (1, 3) \times (2, 4) $.

tačka (2,3)

Na primjer, tačka $ (2, 3) $ nesumnjivo pripada ovom skupu jer se obje njene koordinate nalaze strogo unutar navedenih intervala.

Napomena: Granica pravougaonika nije uključena u otvoreni skup. To znači da tačke na pravama $ x = 1 $, $ x = 3 $, $ y = 2 $ i $ y = 4 $ ne pripadaju ovom pravougaoniku, što ilustruje osnovnu ideju otvorenosti u topologiji.