Primjer topologije

U ovom primjeru želimo otkriti sve moguće topologije koje se mogu definisati na skupu \(X\).

$$ X = \{ a,b \} $$

Da bismo to postigli, potrebno je razmotriti sve porodice podskupova skupa \(X\) koje ispunjavaju formalne uslove topologije.

Definicija topologije. Topologija na skupu \(X\) je porodica \(T\) podskupova od \(X\) koja zadovoljava sledeće tri osobine:

• sadrži prazan skup \(∅\) i ceo skup \(X\),
• zatvorena je na proizvoljne unije (konačne ili beskonačne) elemenata iz \(T\),
• zatvorena je na konačne preseke elemenata iz \(T\).

U slučaju skupa \( X = \{a,b\} \), njegov partitivni skup, odnosno skup svih podskupova, glasi:

$$ P(X) = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, X \} $$

Svaka topologija na \(X\) mora, po definiciji, sadržati prazan skup \(∅\) i ceo skup \(X\). To znači da će ta dva skupa uvek biti prisutna u svakoj mogućoj topologiji.

Na osnovu toga možemo navesti sve moguće topologije koje se mogu formirati na skupu \(X\):

1. Trivijalna (minimalna) topologija, koja sadrži samo osnovne skupove: $$ T_1 = \{ ∅, \{a,b\} \} $$
2. Topologija koja, pored toga, uključuje i skup \(\{a\}\): $$ T_2 = \{ ∅, \{a\}, \{a,b\} \} $$
3. Topologija koja, umesto toga, uključuje skup \(\{b\}\): $$ T_3 = \{ ∅, \{b\}, \{a,b\} \} $$
4. Diskretna (maksimalna) topologija, koja sadrži sve podskupove skupa \(X\): $$ T_4 = \{ ∅, \{a\}, \{b\}, \{a,b\} \} $$

Ovo su sve moguće topologije koje se mogu definisati na skupu \(X\).

Trivijalna topologija ima najmanje strukture, jer razlikuje samo prazan skup i ceo skup. Diskretna topologija, naprotiv, ima najbogatiju strukturu: svaki podskup se smatra otvorenim skupom.

Možemo, dakle, zaključiti da skup \( X = \{a,b\} \) ima tačno četiri različite topologije.

Primjer 2

Pogledajmo sada nešto složeniji slučaj, skup sa tri elementa:

$$ X = \{ a,b,c \} $$

Želimo proveriti da li sledeća porodica zaista čini topologiju na \(X\):

$$ T_3 = \{ ∅, \{ a \}, \{ b \}, \{b,c\}, \{a,b,c\} \} $$

Prvi korak je da proverimo da li \(T_3\) sadrži i prazan skup i ceo skup \(X = \{a,b,c\}\).

Pošto su oba skupa uključena, prvi uslov je ispunjen.

Zatim proveravamo zatvorenost na proizvoljne unije.

Vidimo da unija \( \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \) ne pripada skupu \(T_3\), što je u suprotnosti sa definicijom topologije:

$$ \{a\} \cup \{b\} = \{a,b\} \notin T $$

Ovaj kontraprimjer pokazuje da \(T_3\) ne može biti topologija na skupu \(X\).

Kada jedan od osnovnih uslova nije ispunjen, nema potrebe dalje proveravati zatvorenost na preseke.

Na sličan način mogu se analizirati i druge porodice podskupova.