Topologija označene tačke
Topologija označene tačke na skupu \( X \) sa izabranom tačkom \( p \) definiše se kao skup svih podskupova skupa \( X \) koji su ili prazni ili sadrže tu tačku \( p \).
Drugim rečima, u ovoj topologiji otvoreni skupovi su svi oni koji sadrže označenu tačku, zajedno sa praznim skupom i celim skupom \( X \).
Ova konstrukcija poznata je i kao „topologija fiksne tačke" i često se koristi kao jednostavan, ali poučan primer topološke strukture.
Napomena. Da bi neka kolekcija podskupova činila topologiju, mora zadovoljiti osnovne aksiome: da sadrži prazan skup i ceo skup, da bude zatvorena na proizvoljne unije i na konačne preseke.
Primer
Zamislimo skup \( X = \{a, b, c\} \) i označimo tačku \( a \). Topologija označene tačke povezana s tačkom \( a \) obuhvata sledeće skupove:
- Prazan skup: \( \emptyset \)
- Ceo skup: \( X = \{a, b, c\} \)
- Sve podskupove koji sadrže \( a \): \( \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\} \)
Drugim rečima, topologija glasi:
$$ T = \{ \emptyset, \{a\}, \{a, b\}, \{a, c\}, \{a, b, c\} \} $$
Ova porodica skupova zaista ispunjava uslove da bi predstavljala topologiju:
- Sadrži prazan skup i ceo skup.
- Zatvorena je na proizvoljne unije: svaka unija skupova koji sadrže \( a \) (osim praznog skupa) ponovo sadrži \( a \), pa ostaje u \( T \).
- Zatvorena je na konačne preseke: presek konačnog broja skupova iz \( T \), osim ako nije prazan, uvek sadrži \( a \), pa takođe pripada \( T \).
Ovaj jednostavan primer jasno pokazuje kako topološki prostor može biti definisan pomoću samo jedne izdvojene tačke. Iako je pojam naizgled apstraktan, topologija označene tačke pruža dobar uvod u razumevanje osnovnih principa topologije i načina na koji se grade topološki prostori.
