Trivijalna topologija
Trivijalna (ili minimalna) topologija na skupu \( X \) sastoji se samo od dva skupa: praznog skupa i samog skupa \( X \). $$ T = \{ \emptyset , X \} $$
Naziva se „trivijalnom” jer predstavlja najjednostavniji način da se nekom skupu dodijeli topološka struktura. Iako je jednostavna, ona je važna jer pokazuje osnovu svih drugih topologija.
Trivijalna topologija uključuje samo prazni skup Ø i skup \( X \), odnosno neprave podskupove skupa \( X \).
Osnovni pojmovi
Kada neprazan skup \( X \) opremimo trivijalnom topologijom \( T \), on dobija krajnje jednostavnu strukturu.
$$ (X, T) $$
U toj topologiji postoje samo dva otvorena skupa: prazni skup i sam skup \( X \).
$$ T = \{ \emptyset , X \} $$
Ovaj minimalni izbor ipak zadovoljava sve osnovne topološke uslove:
- Prazni skup Ø i cijeli skup \( X \) pripadaju topologiji \( T \).
- Unija bilo koje kolekcije otvorenih skupova iz \( T \) ostaje u \( T \).
- Presek bilo koja dva otvorena skupa iz \( T \) takođe pripada \( T \).
Za trivijalnu topologiju \( T = \{ \emptyset, X \} \) svi su ovi uslovi automatski ispunjeni.
Dokaz. Po definiciji, prazni skup i skup \( X \) već su dio topologije \( T \). Prazni skup je uvijek otvoren, a \( X \) je otvoren po samoj konstrukciji. Budući da u \( T \) nema drugih skupova, svaka unija ili presek može dati samo jedan od ta dva skupa. Time su svi topološki uslovi ispunjeni. Više o ovome pročitajte u topologiji otvorenih skupova.
Zašto se naziva minimalnom topologijom?
Trivijalna topologija se često naziva i minimalnom jer predstavlja najosnovniju moguću topološku strukturu na nekom skupu.
Topologija je minimalna kada uklanjanje samo jednog njenog elementa znači da više ne ispunjava uslove topologije.
Svaka topologija na \( X \) mora sadržavati barem prazni skup Ø i sam skup \( X \). Trivijalna topologija \( T = \{ \emptyset, X \} \) sadrži tačno ta dva skupa, pa je nemoguće ukloniti bilo koji od njih a da topologija ostane valjana.
Ako bi se iz \( T \) uklonio prazni skup Ø ili skup \( X \), preostali skup više ne bi ispunjavao osnovne uslove da bude topologija.
Zato trivijalna topologija \( T = \{ \emptyset, X \} \) predstavlja najjednostavniji i najmanje složen topološki sistem koji možemo definisati na skupu \( X \).
Napomena. Iako je izuzetno jednostavna, trivijalna topologija ima značajnu teorijsku vrijednost. Ona ne pruža informacije o unutrašnjoj strukturi skupa \( X \), ali služi kao granični primjer - polazna tačka za razumijevanje složenijih topologija. Nasuprot njoj stoji diskretna topologija, u kojoj su svi podskupovi skupa \( X \) otvoreni.
I tako dalje.
