Topologija gornje ograde

Topologija gornje ograde (poznata i kao topologija desno poluotvorenih intervala) definiše se kao skup proizvoljnih unija poluotvorenih intervala sa desne strane oblika \( (a, b] \), gde važi \( a \lt b \).

Drugim rečima, interval se smatra otvorenim u ovoj topologiji ako sadrži svoju gornju granicu, ali isključuje donju.

Formalno, baza ove topologije zapisana je kao:

$$ B = \{ (a,b] \subset \mathbb{R} \ | \ a \lt b \} $$

Ova konstrukcija implicira da je u ovoj topologiji svaki otvoreni skup sastavljen od intervala koji uvek uključuju svoju gornju granicu.

Napomena: Korisno je uporediti ovu topologiju sa takozvanom topologijom donje ograde, u kojoj su otvoreni skupovi oblika \([a, b)\), što znači da uključuju donju, ali isključuju gornju granicu. Ova dualnost jasno pokazuje kako izbor topološke strukture utiče na samo shvatanje pojma otvorenosti.

Topologija gornje ograde predstavlja osnovni primer u opštoj topologiji, jer pokazuje kako mala promena u definiciji otvorenih skupova može dovesti do bitno različitih svojstava i ponašanja.

Konkretačan primer

Razmotrimo skup realnih brojeva \(\mathbb{R}\) sa topologijom generisanom poluotvorenim intervalima sa desne strane.

Tipični primeri otvorenih skupova u ovoj topologiji su \( (1,3] \), \( (2,6] \) i \( (-3,5] \).

Skup svih takvih intervala čini bazu za topologiju gornje ograde.

U svakom od ovih slučajeva gornja granica pripada intervalu, dok donja ne pripada.

Ova topologija nalazi primenu u različitim teorijskim kontekstima, naročito pri proučavanju pojmova konvergencije i kontinuiteta koji se razlikuju od onih koje indukuje standardna (euklidska) topologija na \(\mathbb{R}\).