Topologija isključene tačke

Topologija isključene tačke na skupu \(X\) je poseban tip topološke strukture \(T\) u kojoj se iz razmatranja izdvaja određena tačka \(p\). Drugim riječima, tačka \(p\) ne pripada nijednom otvorenom skupu, osim ako taj skup nije cijeli skup \(X\).

U ovoj topologiji otvoreni skupovi su sljedeći:

• Prazan skup (\(Ø\))
• Cijeli skup \(X\)
• Svi podskupovi skupa \(X\) koji ne sadrže tačku \(p\)

To znači da je podskup skupa \(X\) otvoren ako i samo ako ne sadrži izdvojenu tačku \(p\), osim kada se radi o praznom ili cijelom skupu.

Ova definicija ispunjava osnovne uslove topološke strukture i zato predstavlja potpuno ispravnu topologiju. Zadovoljeni su svi ključni aksiomi: prisustvo praznog i cijelog skupa, zatvorenost na proizvoljne unije i zatvorenost na konačne preseke.

Napomena: Topologija isključene tačke je zanimljiva jer pokazuje kako jednostavno isključenje jedne tačke može promijeniti način na koji se skupovi ponašaju unutar topološkog prostora. Takve konstrukcije pomažu da se bolje razumiju granice i posebni slučajevi u opštoj topologiji.

Primjer

Razmotrimo skup \(X\) koji se sastoji od tri elementa:

$$ X = \{a, b, c\} $$

Neka je \(p = a\) isključena tačka.

Topologija isključene tačke na skupu \(X\) tada obuhvata sljedeće skupove:

• Prazan skup: \(Ø\)
• Cijeli skup: \(X = \{a, b, c\}\)
• Podskupove koji ne sadrže tačku \(a\): \(\{b\}, \{c\}, \{b, c\}\)

Dobijamo dakle topologiju:

$$ T = \{\emptyset, \{a, b, c\}, \{b\}, \{c\}, \{b, c\}\} $$

Provjerimo sada da \(T\) ispunjava aksiome topologije:

• Zatvorenost na proizvoljne unije:

  Na primjer, \(\{b\} \cup \{c\} = \{b, c\}\) i \(\{b\} \cup \emptyset = \{b\}\). Oba ova skupa pripadaju \(T\).

• Zatvorenost na konačne preseke:

  Na primjer, \(\{b\} \cap \{c\} = \emptyset\) i \(\{b, c\} \cap \{b\} = \{b\}\). Ovi skupovi takođe pripadaju \(T\).

• Prisustvo praznog i cijelog skupa: \(\emptyset\) i \(X\) su elementi topologije \(T\).

Ovaj jednostavan primjer pokazuje kako izdvajanje samo jedne tačke (u ovom slučaju \(a\)) omogućava da se konstruše topološki prostor sa specifičnim i poučnim svojstvima. Takvi primjeri su važni jer pomažu da se intuitivno razumije kako pravila topologije funkcionišu i kako mala promjena u definiciji može dovesti do novog tipa prostora.