Karakterizacija zatvorenih skupova

Skup \( A \) naziva se zatvorenim ako i samo ako se njegovo zatvaranje podudara sa samim skupom u promatranom topološkom prostoru : $$ A = \text{Cl}(A) $$

Konkretan primjer

Promotrimo topološki prostor \( \mathbb{R} \) s uobičajenom topologijom te skup \( A = [0, 1] \).

Podsjetimo da je skup zatvoren ako sadrži sve svoje točke akumulacije. U ovom slučaju, točke akumulacije skupa \( A = [0, 1] \) upravo su sve točke tog intervala, uključujući i njegove krajnje točke.

Budući da skup \( A \) već sadrži sve svoje točke akumulacije, možemo zaključiti da je zatvoren.

Pogledajmo sada izravno vrijedi li jednakost \( A = \text{Cl}(A) \).

Zatvaranje skupa \( A \) u uobičajenoj topologiji jednako je samom skupu, jer interval \( [0, 1] \) već uključuje sve svoje točke akumulacije :

$$ \text{Cl}(A) = [0, 1] $$

Otuda neposredno slijedi :

$$ A = \text{Cl}(A) $$

Ovaj primjer jasno pokazuje da je skup \( A = [0, 1] \) zatvoren upravo zato što se podudara sa svojim zatvaranjem.

Ujedno ilustrira opće pravilo prema kojem je skup zatvoren ako i samo ako je jednak vlastitom zatvaranju.

Dokaz

Za dokaz se oslonimo na temeljne definicije topologije :

• Zatvaranje skupa : Zatvaranje skupa \( A \), označeno s \( \text{Cl}(A) \), sastoji se od svih točaka skupa \( A \) te svih njegovih točaka akumulacije. Preciznije : \[ \text{Cl}(A) = A \cup \{x \in X \mid \text{svaka okolina točke } x \text{ sadrži barem jednu točku iz } A \} \]
• Zatvoren skup : Skup \( A \) je zatvoren ako sadrži sve svoje točke akumulacije. Drugim riječima, \( A \) je zatvoren ⇔ \( A = \text{Cl}(A) \).

Dokažimo sada ovu ekvivalenciju u oba smjera.

1] Ako je \( A \) zatvoren, tada vrijedi \( A = \text{Cl}(A) \)

Pretpostavimo da je skup \( A \) zatvoren. Po definiciji, svaka točka akumulacije skupa \( A \) nužno pripada samom skupu.

Budući da se zatvaranje skupa \( A \) sastoji od svih njegovih točaka zajedno s točkama akumulacije, slijedi :

$$ \text{Cl}(A) = A \cup \{ \text{točke akumulacije skupa } A \} = A $$

Odavde neposredno dobivamo :

$$ A = \text{Cl}(A) $$

2] Ako vrijedi \( A = \text{Cl}(A) \), tada je \( A \) zatvoren

Pretpostavimo sada da je \( A = \text{Cl}(A) \). Kako zatvaranje po definiciji sadrži sve točke akumulacije skupa \( A \), te se točke nalaze unutar samog skupa.

Slijedi da skup \( A \) sadrži sve svoje točke akumulacije, što znači da je \( A \) zatvoren.