Monotono svojstvo operatora zatvaranja
Monotono svojstvo operatora zatvaranja kaže da, ako vrijedi \( A \subseteq B \), tada je zatvaranje skupa \( A \) nužno sadržano u zatvaranju skupa \( B \): \[ A \subseteq B \implies \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Ovo svojstvo spada među temeljne činjenice topologije. Na prvi pogled djeluje gotovo očigledno, ali njegovo razumijevanje pomaže izgraditi čvrstu intuiciju o tome kako se skupovi ponašaju u topološkom prostoru.
Intuicija je jednostavna. Ako je jedan skup potpuno sadržan u drugome, tada i sve točke koje mu se mogu proizvoljno približiti moraju biti sadržane unutar šireg skupa. Operator zatvaranja formalizira upravo tu ideju.
Ilustrativni primjer
Razmotrimo najpoznatiji primjer: realnu pravac \( \mathbb{R} \) s njegovom standardnom topologijom.
U tom okruženju, otvoreni skupovi su otvoreni intervali.
Uzmimo sljedeća dva skupa:
\[ A = (0, 1) \]
\[ B = [0, 2] \]
Jasno je da svaki element skupa \( A \) pripada i skupu \( B \), pa vrijedi:
\[ A \subseteq B \]
Zatvaranje skupa \( A \)
Skup \( A \) je otvoreni interval \( (0, 1) \). Njegovo zatvaranje dobiva se dodavanjem svih točaka koje se mogu proizvoljno blizu dosegnuti točkama iz skupa \( A \).
U ovom slučaju, to su točke \( 0 \) i \( 1 \), jer svako njihovo okruženje siječe interval \( (0, 1) \).
Prema tome:
\[ \text{Cl}(A) = [0, 1] \]
Zatvaranje skupa \( B \)
Skup \( B \) je zatvoreni interval \([0, 2]\). On već sadrži sve svoje granične točke.
Zbog toga se primjenom operatora zatvaranja ne mijenja:
\[ \text{Cl}(B) = [0, 2] \]
Zaključak
Uspoređujući dobivene rezultate, odmah uočavamo da vrijedi:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Primjer jasno pokazuje da operator zatvaranja poštuje uključenje skupova.
Formalni dokaz
Polazimo od pretpostavke:
\[ A \subseteq B \]
Po definiciji, točka \( x \) pripada skupu \( \text{Cl}(A) \) ako i samo ako svako okruženje točke \( x \) sadrži barem jednu točku iz skupa \( A \).
Budući da je \( A \subseteq B \), svako okruženje koje presijeca \( A \) nužno presijeca i \( B \). To znači da svaka točka iz \( \text{Cl}(A) \) mora pripadati i skupu \( \text{Cl}(B) \).
Izravno slijedi:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Isti zaključak može se dobiti i drugačije. Zatvaranje skupa može se opisati kao presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže taj skup.
Ako je \( A \subseteq B \), tada svaki zatvoreni skup koji sadrži \( B \) automatski sadrži i \( A \). Presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže \( B \), odnosno \( \text{Cl}(B) \), stoga mora sadržavati i presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže \( A \), to jest \( \text{Cl}(A) \).
Na taj način ponovno dolazimo do istog rezultata:
\[ \text{Cl}(A) \subseteq \text{Cl}(B) \]
Monotono svojstvo operatora zatvaranja izravna je posljedica njegove definicije i predstavlja jasan primjer dosljednog, strukturnog ponašanja jednog od osnovnih pojmova opće topologije.
