Otvoreni skupovi i unutrašnjost skupa

Ako je $ U $ otvoren skup u topološkom prostoru $ X $ i ako vrijedi $ U \subseteq A $, tada je $ U $ sadržan u unutrašnjosti skupa $ A $ : $$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Unutrašnjost skupa $ A $, označena s $\text{Int}(A)$, predstavlja najveći otvoren skup koji se u potpunosti nalazi unutar skupa $ A $.

Zbog toga svaki otvoren skup $ U $ koji je sadržan u $ A $ automatski pripada i unutrašnjosti $\text{Int}(A)$, jer upravo ona obuhvata sve takve otvorene podskupove.

$$ \text{Int}(A) = \bigcup \{ O \subseteq A \mid O \text{ je otvoren skup u } X \} $$

Kako skup $ U $ ispunjava ove uvjete, on je jedan od otvorenih skupova čija unija čini unutrašnjost skupa $ A $.

Konkretan primjer
Dokaz

Konkretan primjer

Pogledajmo kako ova osobina izgleda na jednostavnom i poznatom primjeru iz realne prave. Razmotrimo skupove $ U $ i $ A $ u topološkom prostoru $ \mathbb{R} $, opremljenom standardnom topologijom, u kojoj su otvoreni skupovi upravo otvoreni intervali i njihove proizvoljne unije.

$$ U = (1, 2) $$

$$ A = [0, 3] $$

Skup $ U = (1, 2) $ je otvoren, jer se radi o otvorenom intervalu u prostoru $\mathbb{R}$, pa samim tim pripada standardnoj topologiji.

Istovremeno, jasno je da vrijedi $ U \subseteq A $, budući da svaka tačka intervala $ (1, 2) $ pripada i intervalu $ [0, 3] $.

Unutrašnjost skupa $ A = [0, 3] $, označena s $\text{Int}(A)$, najveći je otvoren skup sadržan u $ A $, a u ovom slučaju to je interval $(0, 3)$.

$$ \text{Int}(A) = (0, 3) $$

Iz toga se odmah vidi da je $ U = (1, 2) $ u potpunosti sadržan u $(0, 3)$, odnosno da vrijedi:

$$ U \subseteq \text{Int}(A) $$

Primjer jasno pokazuje da svaki otvoren skup koji je podskup nekog skupa $ A $ mora ležati unutar njegove unutrašnjosti.

Dokaz

Neka je $ X $ topološki prostor, $ A \subseteq X $ proizvoljan podskup, te $ U $ otvoren skup u prostoru $ X $ za koji vrijedi $ U \subseteq A $.

Polazimo od sljedećih pretpostavki:

$ U $ je otvoren skup u prostoru $ X $;
$ U \subseteq A $.

Prema definiciji, unutrašnjost skupa $ A $ jednaka je uniji svih otvorenih skupova koji su sadržani u $ A $.

Budući da skup $ U $ zadovoljava navedene pretpostavke, on pripada toj familiji otvorenih skupova čija unija definira $\text{Int}(A)$.

Otuda neposredno slijedi da vrijedi $ U \subseteq \text{Int}(A) $.

Drugim riječima, nijedan otvoren skup ne može biti sadržan u skupu $ A $, a da pritom ne pripada i njegovoj unutrašnjosti.

Time je svojstvo u potpunosti dokazano.