Presjek unutrašnjosti dvaju skupova
Presjek unutrašnjosti dvaju skupova \( A \) i \( B \) jednak je unutrašnjosti njihova presjeka: $$ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) $$
Ovo svojstvo kaže da se unutrašnjost presjeka dvaju skupova dobiva jednostavno tako što se presijeku njihove unutrašnjosti.
Drugim riječima, točke koje su istovremeno unutarnje točke skupa \( A \) i skupa \( B \) upravo su unutarnje točke skupa \( A \cap B \).
Da bi se ova tvrdnja lakše razumjela, korisno je podsjetiti se dvaju osnovnih pojmova:
- Unutrašnjost skupa (\(\text{Int}(A)\)) : skup svih točaka skupa \( A \) koje imaju otvorenu okolinu potpuno sadržanu u \( A \). Riječ je o točkama koje se nalaze strogo unutar skupa, bez dodira s njegovom granicom.
- Presjek (\(\cap\)) : skup svih elemenata koji istovremeno pripadaju skupovima \( A \) i \( B \).
Kada se ova dva pojma spoje, postaje jasno zašto presjek unutrašnjosti skupova \( A \) i \( B \) daje upravo unutrašnjost njihova presjeka.
Vizualni primjer
Zamislimo dva diska \( A \) i \( B \) koji se djelomično preklapaju.
Unutrašnjost svakog diska obuhvaća cijelu njegovu površinu, ali bez ruba.
Ako uzmemo presjek tih dviju unutrašnjih oblasti, dobit ćemo upravo unutarnji dio oblasti u kojoj se diskovi \( A \) i \( B \) preklapaju.
Dokaz
Jednakost ćemo dokazati pokazivanjem dviju uključenosti.
1] Prva uključenost (\(\subseteq\))
Neka je \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \). To znači da postoje otvoreni skupovi \( U \subseteq A \) i \( V \subseteq B \) koji sadrže točku \( x \).
Njihov presjek \( W = U \cap V \) također je otvoreni skup koji sadrži \( x \), a pritom vrijedi \( W \subseteq A \cap B \).
Iz toga slijedi da je \( x \in \text{Int}(A \cap B) \), što potvrđuje prvu uključenost.
Neka je \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \). Po definiciji, postoje otvoreni skupovi \( U \) i \( V \) takvi da je \( x \in U \subseteq A \) i \( x \in V \subseteq B \).
Tada je \( W = U \cap V \) otvoreni skup koji sadrži \( x \), pri čemu vrijedi \( W \subseteq A \cap B \).
Prema tome, \( x \in \text{Int}(A \cap B) \).
Zaključujemo: \( \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \subseteq \text{Int}(A \cap B) \).
2] Druga uključenost (\(\supseteq\))
Obratno, neka je \( x \in \text{Int}(A \cap B) \). Tada postoji otvoreni skup \( W \) takav da je \( x \in W \subseteq A \cap B \).
To odmah znači da je \( W \subseteq A \) i \( W \subseteq B \), pa je i \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \).
Neka je \( x \in \text{Int}(A \cap B) \). Postoji otvoreni skup \( W \) takav da je \( x \in W \subseteq A \cap B \).
Tada je \( W \subseteq A \) i \( W \subseteq B \), pa je \( x \in \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \).
Dakle vrijedi: \( \text{Int}(A \cap B) \subseteq \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) \).
Budući da su obje uključenosti dokazane, slijedi konačni rezultat:
\[ \text{Int}(A) \cap \text{Int}(B) = \text{Int}(A \cap B) \]
Time je dokaz završen.
