Skup je otvoren ako i samo ako je jednak svojoj unutrašnjosti

Skup \( A \) u topološkom prostoru \( X \) naziva se otvorenim ako i samo ako se poklapa sa svojom unutrašnjošću, odnosno ako važi: $$ A = \text{Int}(A) $$

Drugim riječima, skup \( A \) je otvoren onda kada svaka njegova tačka ima otvorenu okolinu koja u potpunosti pripada skupu \( A \).

Ovaj uslov daje jednostavan i veoma koristan kriterij: skup je otvoren ako sadrži sve svoje unutrašnje tačke, odnosno ako se ne “širi” izvan vlastite unutrašnjosti.

Unutrašnjost skupa, označena sa \( \text{Int}(A) \), definiše se kao najveći otvoreni skup koji je sadržan u skupu \( A \). Dobija se kao unija svih otvorenih skupova koji su podskupovi od \( A \).

Ilustrativni primjer

Posmatrajmo topološki prostor \( \mathbb{R} \) sa standardnom topologijom, u kojoj su svi otvoreni intervali otvoreni skupovi.

Razmotrićemo dva jednostavna primjera kako bismo provjerili da li su skupovi otvoreni pomoću kriterija \( A = \text{Int}(A) \).

Primjer 1

Neka je dat otvoreni interval \( A = (0, 1) \).

$$ A = (0, 1) $$

Njegova unutrašnjost jednaka je samom skupu:

$$ \text{Int}(A) = (0,1) $$

Pošto se skup \( A \) podudara sa svojom unutrašnjošću, zaključujemo da je \( A \) otvoren skup.

Primjer 2

Razmotrimo sada zatvoreni interval \( B = [0,1] \).

$$ B = [0, 1] $$

Unutrašnjost skupa \( B \) jeste otvoreni interval \( (0,1) \), koji ne sadrži krajnje tačke.

$$ \text{Int}(B) = (0,1) $$

Pošto u ovom slučaju važi \( B \ne \text{Int}(B) \), skup \( B \) nije otvoren.

Napomena: Ovi primjeri jasno pokazuju kako pojam unutrašnjosti omogućava jednostavnu i pouzdanu provjeru da li je neki skup otvoren.

Dokaz

Pokažimo sada da za svaki skup \( A \subseteq X \) važi sljedeća tvrdnja: skup \( A \) je otvoren ako i samo ako je jednak svojoj unutrašnjosti.

Dokaz se sastoji od dvije implikacije.

1] Ako je \( A \) otvoren, tada je \( \text{Int}(A) = A \)

Pretpostavimo da je \( A \) otvoren. Po definiciji otvorenog skupa, svaka tačka \( x \in A \) ima otvorenu okolinu \( U \subseteq A \).

To znači da svaka tačka skupa \( A \) pripada njegovoj unutrašnjosti, pa važi:

$$ A \subseteq \text{Int}(A) $$

S druge strane, iz same definicije unutrašnjosti slijedi:

$$ \text{Int}(A) \subseteq A $$

Kombinovanjem ove dvije inkluzije dobijamo:

$$ A = \text{Int}(A) $$

2] Ako je \( A = \text{Int}(A) \), tada je \( A \) otvoren

Pretpostavimo sada da važi \( A = \text{Int}(A) \).

Za svaku tačku \( x \in A \) važi da je \( x \in \text{Int}(A) \), pa po definiciji postoji otvoreni skup \( U \subseteq A \) takav da je \( x \in U \).

To znači da svaka tačka skupa \( A \) ima otvorenu okolinu sadržanu u \( A \), što upravo znači da je \( A \) otvoren skup.

3] Zaključak

Zaključujemo da vrijedi sljedeća ekvivalencija: skup \( A \subseteq X \) je otvoren ako i samo ako je jednak svojoj unutrašnjosti, odnosno:

$$ A = \text{Int}(A) $$

Ovaj rezultat predstavlja jedan od osnovnih kriterija za prepoznavanje otvorenih skupova u topološkom prostoru.