Svojstvo komplementarnosti između unutrašnjosti i zatvorenja skupa
U topologiji, svojstvo komplementarnosti između unutrašnjosti i zatvorenja skupa opisuje preciznu vezu između ova dva pojma. Naime, unutrašnjost komplementa skupa \( A \) podudara se s komplementom zatvorenja tog skupa. Matematički, to se izražava formulom: $$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Ilustrativni primjer
Kako bismo jasnije razumjeli ovu relaciju, razmotrimo jednostavan i dobro poznat primjer. Promatrajmo realnu pravu \(\mathbb{R}\) opremljenu standardnom topologijom, u kojoj su otvoreni skupovi upravo otvoreni intervali.
Neka je \( A = [0,1] \), zatvoreni interval na realnoj pravoj.
$$ A = [0,1] $$
Komplement skupa \( A \) u prostoru \(\mathbb{R}\) dobiva se uklanjanjem tog intervala iz realne prave:
$$ \mathbb{R} - A = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Unutrašnjost skupa \( \mathbb{R} - A \), označena s \( \text{Int}(\mathbb{R} - A) \), sastoji se od svih točaka koje imaju okolinu u potpunosti sadržanu u tom skupu.
Budući da je skup \( (-\infty, 0) \cup (1, \infty) \) već otvoren, njegova unutrašnjost jednaka je samom tom skupu:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
S druge strane, zatvorenje skupa \( A \), označeno s \( \text{Cl}(A) \), najmanji je zatvoreni skup koji sadrži \( A \). Uključuje sam skup \( A \) i sve njegove granične točke.
Kako je \( A \) već zatvoren, njegovo zatvorenje ostaje nepromijenjeno:
$$ \text{Cl}(A) = [0,1] $$
Komplement zatvorenja skupa \( A \) u prostoru \(\mathbb{R}\) stoga je:
$$ \mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty) $$
Usporedbom dobivenih skupova:
- \(\text{Int}(\mathbb{R} - A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
- \(\mathbb{R} - \text{Cl}(A) = (-\infty, 0) \cup (1, \infty)\)
vidimo da su oni identični. Time se izravno potvrđuje relacija:
$$ \text{Int}(\mathbb{R} - A) = \mathbb{R} - \text{Cl}(A) $$
Ovaj primjer jasno pokazuje kako se unutrašnjost i zatvorenje ponašaju kao komplementarni pojmovi.
Dokaz
Neka je \( A \) proizvoljan podskup topološkog prostora \( X \). Cilj je dokazati sljedeću jednakost:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Prisjetimo se osnovnih definicija koje ćemo koristiti:
- Unutrašnjost skupa \( B \), označena s \( \text{Int}(B) \), sastoji se od svih točaka koje imaju okolinu u potpunosti sadržanu u skupu \( B \).
- Zatvorenje skupa \( A \), označeno s \( \text{Cl}(A) \), najmanji je zatvoreni skup koji sadrži \( A \), odnosno skup \( A \) zajedno sa svim njegovim točkama nakupljanja.
Dokaz se provodi u dva koraka, pokazivanjem dviju uključenosti.
1] Dokaz da vrijedi \(\text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A)\)
Neka je \( x \in \text{Int}(X - A) \). Prema definiciji unutrašnjosti, postoji okolina \( U \) točke \( x \) takva da vrijedi \( U \subseteq X - A \).
To znači da je \( U \cap A = \emptyset \), odnosno da u toj okolini nema nijedne točke skupa \( A \).
Kada bi \( x \) bila točka nakupljanja skupa \( A \), svaka njezina okolina sadržavala bi barem jednu točku iz \( A \), što je u suprotnosti s prethodnim zaključkom.
Prema tome, \( x \notin \text{Cl}(A) \), pa vrijedi \( x \in X - \text{Cl}(A) \).
Zaključujemo:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
2] Dokaz da vrijedi \(X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A)\)
Neka je \( x \in X - \text{Cl}(A) \). To znači da točka \( x \) ne pripada zatvorenju skupa \( A \), pa stoga nije ni element skupa \( A \), niti njegova točka nakupljanja.
Iz definicije zatvorenja slijedi da postoji okolina \( U \) točke \( x \) za koju vrijedi \( U \cap A = \emptyset \).
Otuda slijedi da je \( U \subseteq X - A \), što prema definiciji unutrašnjosti implicira da je \( x \in \text{Int}(X - A) \).
Stoga vrijedi:
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
3] Zaključak
Budući da su obje uključenosti dokazane:
$$ \text{Int}(X - A) \subseteq X - \text{Cl}(A) $$
$$ X - \text{Cl}(A) \subseteq \text{Int}(X - A) $$
slijedi konačna jednakost:
$$ \text{Int}(X - A) = X - \text{Cl}(A) $$
Time je dokaz završen.
