Svojstvo uključenosti zatvaranja podskupa u zatvoreni skup

U topološkom prostoru $ X $, ako je skup $ C $ zatvoren i ako podskup $ A $ zadovoljava relaciju $ A \subseteq C $, tada je zatvaranje skupa $ A $, označeno s $ \operatorname{Cl}(A) $, također sadržano u skupu $ C $ : $$ A \subseteq C \ , \ C \text{ zatvoren } \ \Rightarrow \ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Ovo svojstvo izražava jednostavnu, ali vrlo važnu ideju u topologiji. Zatvaranje nekog skupa ne može “izaći” iz zatvorenog skupa koji ga već u potpunosti sadrži. Razlog je duboko povezan s načinom na koji je zatvaranje definirano.

Naime, zatvaranje skupa $ A $ jest, po definiciji, najmanji zatvoreni skup koji sadrži $ A $. Ako već imamo zatvoreni skup $ C $ koji sadrži $ A $, tada nema prostora da se zatvaranje skupa $ A $ proširi izvan granica skupa $ C $.

Konkretan primjer
Dokaz

Konkretan primjer

Razmotrimo topološki prostor $ X = \mathbb{R} $, odnosno realnu pravu opremljenu standardnom topologijom.

U toj topologiji otvoreni skupovi su upravo otvoreni intervali.

Neka je skup

$$ C = [0,2] $$

Ovaj skup je zatvoren u prostoru $ \mathbb{R} $.

Sada uzmimo pravi podskup skupa $ C $, na primjer otvoreni interval

$$ A = (0,1) $$

Jasno je da vrijedi

$$ A \subseteq C $$

Pogledajmo sada zatvaranje skupa $ A $.

Zatvaranje skupa $ A $, označeno s $ \operatorname{Cl}(A) $, najmanji je zatvoreni skup u prostoru $ \mathbb{R} $ koji sadrži sve tačke skupa $ A $.

U ovom slučaju, zatvaranje otvorenog intervala $ (0,1) $ jest zatvoreni interval

$$ \operatorname{Cl}(A) = [0,1] $$

To se događa zato što zatvaranje mora uključiti ne samo sve tačke iz $ A $, nego i njegove akumulacijske tačke, a to su ovdje 0 i 1.

Budući da je

$$ [0,1] \subseteq [0,2] = C $$

vidimo da je zatvaranje skupa $ A $ u potpunosti sadržano u zatvorenom skupu $ C $, u skladu s općim svojstvom.

Ovaj primjer jasno pokazuje da, čim je skup $ A $ sadržan u zatvorenom skupu $ C $, njegovo zatvaranje ne može izići iz tog skupa.

Dokaz

Neka je $ A \subseteq C \subseteq X $, pri čemu je $ C $ zatvoren skup u topološkom prostoru $ X $.

Po definiciji zatvorenog skupa, njegov komplement $ X \setminus C $ je otvoren skup.

Zatvaranje skupa $ A $, označeno s $ \operatorname{Cl}(A) $, definira se kao presjek svih zatvorenih skupova u prostoru $ X $ koji sadrže skup $ A $. Drugim riječima, ono je najmanji zatvoreni skup koji sadrži $ A $.

Budući da je $ C $ zatvoren skup i da sadrži $ A $, skup $ C $ nužno ulazi u ovu familiju zatvorenih skupova.

Kako je zatvaranje $ \operatorname{Cl}(A) $ sadržano u presjeku svih takvih skupova, slijedi da mora biti sadržano i u svakom od njih, a posebno u skupu $ C $.

Stoga vrijedi

$$ \operatorname{Cl}(A) \subseteq C $$

Time je pokazano da se zatvaranje skupa $ A $ u cijelosti nalazi unutar zatvorenog skupa $ C $, što dovršava dokaz.