Uključenost unutrašnjosti skupova u topologiji

Ako je skup $ A $ uključen u skup $ B $, tada je i unutrašnjost skupa $ A $ uključena u unutrašnjost skupa $ B $: $$ A \subseteq B \Rightarrow \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Ova tvrdnja izražava jedno od osnovnih svojstava topološke strukture prostora. Intuitivno, ako je neki skup u potpunosti sadržan u drugome, tada se isto mora odnositi i na njegove „unutarnje točke”, odnosno na njegovu unutrašnjost.

Drugim riječima, operator unutrašnjosti poštuje relaciju uključenosti među skupovima.

Ilustrativni primjer
Dokaz

Ilustrativni primjer

Razmotrimo dva skupa $ A $ i $ B $ u skupu realnih brojeva $ \mathbb{R} $, opremljenom standardnom topologijom.

$$ A = [1, 3] $$

$$ B = [0, 4] $$

Očito je da vrijedi uključenost:

$$ A \subseteq B $$

U standardnoj topologiji na $ \mathbb{R} $, unutrašnjost nekog skupa definirana je kao unija svih otvorenih skupova koji su u njemu sadržani.

Unutrašnjost skupa A
Skup $ A = [1, 3] $ sadrži otvoreni interval $ (1, 3) $, pa vrijedi: \[ \text{Int}(A) = (1, 3) \]
Unutrašnjost skupa B
Na isti način, skup $ B = [0, 4] $ sadrži otvoreni interval $ (0, 4) $, pa vrijedi: \[ \text{Int}(B) = (0, 4) \]

Iz toga neposredno slijedi da je $ \text{Int}(A) = (1, 3) $ sadržan u $ \text{Int}(B) = (0, 4) $.

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Ovaj jednostavan primjer jasno pokazuje da se uključenost skupova prirodno prenosi i na njihove unutrašnjosti u prostoru $ \mathbb{R} $ sa standardnom topologijom.

Dokaz

Neka su $ A $ i $ B $ dva podskupa topološkog prostora $ X $ takva da vrijedi $ A \subseteq B $.

Želimo pokazati da iz toga slijedi $ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $.

Prema definiciji, unutrašnjost skupa $ A $, označena s $ \text{Int}(A) $, jest unija svih otvorenih skupova koji su sadržani u skupu $ A $.

Drugim riječima, to je najveći otvoreni skup koji se u cijelosti nalazi unutar skupa $ A $.

Budući da vrijedi $ A \subseteq B $, svaki otvoreni skup sadržan u $ A $ nužno je sadržan i u skupu $ B $.

Prema tome, i $ \text{Int}(A) $ je otvoreni skup sadržan u $ B $.

Kako je $ \text{Int}(B) $, po definiciji, najveći otvoreni skup sadržan u skupu $ B $, slijedi:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Time zaključujemo da operacija uzimanja unutrašnjosti čuva relaciju uključenosti između podskupova.

Dokaz je time završen.