Zatvorenje komplementa i komplement unutrašnjosti skupa
Zatvorenje komplementa skupa \( A \) jednako je komplementu unutrašnjosti skupa \( A \) : $$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Ova relacija izražava jednu od temeljnih veza u topologiji. Ona pokazuje kako su pojmovi zatvorenja i unutrašnjosti međusobno povezani kada se promatraju putem komplementarnih skupova u topološkom prostoru.
Konkretan primjer
Razmotrimo topološki prostor \( X = \mathbb{R} \) opremljen standardnom topologijom, u kojoj su otvoreni skupovi unije otvorenih intervala.
Neka je \( A \subseteq X = \mathbb{R} \) skup definiran zatvorenim intervalom \( A = [1,2] \).
Kako bismo provjerili navedenu jednakost, analizirat ćemo je korak po korak. Najprije ćemo izračunati zatvorenje komplementa skupa \( A \), a zatim komplement unutrašnjosti skupa \( A \).
1] Zatvorenje komplementa skupa \( A \)
Komplement skupa \( A \) u prostoru \( \mathbb{R} \) iznosi:
$$ X - A = \mathbb{R} - [1,2] = (-\infty, 1) \cup (2, \infty) $$
Da bismo odredili njegovo zatvorenje, potrebno je dodati sve granične točke tog skupa.
U ovom slučaju, točke \( 1 \) i \( 2 \) jesu granične točke komplementa. Svako okruženje točke \( 1 \) sadrži elemente iz intervala \( (-\infty,1) \), dok svako okruženje točke \( 2 \) sadrži elemente iz intervala \( (2, \infty) \).
Zbog toga zatvorenje komplementa skupa \( A \) glasi:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
2] Komplement unutrašnjosti skupa \( A \)
Unutrašnjost skupa \( A = [1,2] \) najveći je otvoreni skup koji je u cijelosti sadržan u \( A \):
$$ \text{Int}(A) = (1,2) $$
Komplement tog skupa u prostoru \( \mathbb{R} \) dobiva se oduzimanjem intervala \( (1,2) \) od cijelog prostora:
$$ X - \text{Int}(A) = \mathbb{R} - (1,2) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
3] Zaključak
U oba postupka dobivamo isti rezultat:
$$ \text{Cl}(X - A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
$$ X - \text{Int}(A) = (-\infty, 1] \cup [2, \infty) $$
Time je na konkretnom primjeru potvrđena opća relacija:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Dokaz
Neka je \( A \subseteq X \) proizvoljan podskup topološkog prostora \( X \).
Zatvorenje komplementa skupa \( A \) obuhvaća sve točke skupa \( X - A \), kao i sve njihove granične točke:
$$ \text{Cl}(X - A) $$
S druge strane, komplement unutrašnjosti skupa \( A \) sastoji se od svih točaka koje nisu unutarnje točke skupa \( A \):
$$ X - \text{Int}(A) $$
Kako bismo dokazali jednakost \(\text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A)\), dovoljno je pokazati obje inkluzije.
- \( \text{Cl}(X - A) \subseteq X - \text{Int}(A) \)
Ako točka \( x \) pripada skupu \( \text{Cl}(X - A) \), tada svako njezino okruženje sadrži barem jednu točku iz skupa \( X - A \). To znači da \( x \) ne može biti unutarnja točka skupa \( A \), jer bi u suprotnom postojalo okruženje u potpunosti sadržano u \( A \). Prema tome, \( x \notin \text{Int}(A) \), odnosno \( x \in X - \text{Int}(A) \). - \( X - \text{Int}(A) \subseteq \text{Cl}(X - A) \)
Ako točka \( x \) pripada skupu \( X - \text{Int}(A) \), tada ona nije unutarnja točka skupa \( A \). Posljedično, svako okruženje točke \( x \) sadrži barem jednu točku izvan skupa \( A \), odnosno točku iz skupa \( X - A \). Iz toga slijedi da \( x \in \text{Cl}(X - A) \).
Budući da su obje inkluzije dokazane, zaključujemo da vrijedi:
$$ \text{Cl}(X - A) = X - \text{Int}(A) $$
Ova činjenica jasno ističe duboku i simetričnu povezanost između pojmova zatvorenja i unutrašnjosti u topologiji.
Dokaz je time završen.
