De afsluiting van een verzameling: de verzameling en haar ophopingspunten
In een topologische ruimte \( X \) wordt de afsluiting van een verzameling \( A \), genoteerd als \(\text{Cl}(A)\), gedefinieerd als de vereniging van \( A \) met de verzameling \( A' \) van haar ophopingspunten : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Deze stelling geeft een toegankelijke en tegelijk formeel correcte beschrijving van wat men in de topologie onder de afsluiting van een deelverzameling \( A \) van een ruimte \((X, \tau)\) verstaat.
Intuïtief gezien bevat de afsluiting alle punten die "tegen" \( A \) aanliggen. Het gaat zowel om de punten die daadwerkelijk tot \( A \) behoren als om de punten die men willekeurig dicht kan benaderen met punten uit \( A \).
Belangrijk is dat ophopingspunten niet noodzakelijk zelf elementen van \( A \) hoeven te zijn.
Hieruit volgt meteen een fundamenteel criterium: een verzameling \( A \) is gesloten dan en slechts dan als zij al haar ophopingspunten bevat: $$ A \text{ is gesloten } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Met andere woorden, een verzameling is gesloten precies wanneer zij samenvalt met haar afsluiting.
Concreet voorbeeld
Beschouw het open interval \( A = (0, 1) \) in \( \mathbb{R} \), voorzien van de gebruikelijke topologie.
$$ A = (0,1) $$
Deze verzameling bevat alle reële getallen die strikt tussen 0 en 1 liggen, maar sluit de eindpunten niet in.
We bepalen nu stap voor stap de ophopingspunten van \( A \):
- Elk punt \( x \in (0,1) \) is een ophopingspunt, omdat elke omgeving van \( x \) ook andere punten van \( A \) bevat.
- Het punt \( 0 \) is eveneens een ophopingspunt, want elke open omgeving van \( 0 \) (bijvoorbeeld \( (0, \varepsilon) \)) snijdt de verzameling \( A \).
- Hetzelfde geldt voor \( 1 \): elke omgeving van \( 1 \) (zoals \( (1-\varepsilon, 1) \)) bevat punten van \( A \).
De verzameling van alle ophopingspunten is dus:
$$ A' = [0,1] $$
De afsluiting van \( A \) volgt hieruit onmiddellijk:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$
Omdat \( A \) de eindpunten \( 0 \) en \( 1 \) niet bevat, geldt: $$ A \ne \text{Cl}(A) $$ Dit betekent dat \( A \) geen gesloten verzameling is in de gebruikelijke topologie van \( \mathbb{R} \).
Tweede voorbeeld
Beschouw nu de verzameling \( B = [0, 1] \), een gesloten interval in \( \mathbb{R} \), opnieuw met de gebruikelijke topologie.
$$ B = [0,1] $$
Zij \( x \in B \). Men kan eenvoudig nagaan dat:
- Voor \( x \in (0,1) \) bevat elke omgeving van \( x \) andere punten van \( B \), zodat \( x \in B' \).
- Voor \( x = 0 \) of \( x = 1 \) bevat elke omgeving eveneens punten van \( B \) die verschillend zijn van \( x \), en dus ook hier \( x \in B' \).
Daaruit volgt:
$$ B' = [0,1] $$
En dus:
$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$
Aangezien \( B = \text{Cl}(B) \), concluderen we dat \( B \) gesloten is in \( \mathbb{R} \).
Bewijs van de stelling
We bewijzen nu formeel dat voor elke verzameling \( A \subseteq X \) geldt:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
We herinneren aan de definities:
- Afsluiting : \( \text{Cl}(A) \) is de doorsnede van alle gesloten verzamelingen die \( A \) bevatten.
- Ophopingspunt : een punt \( x \in X \) behoort tot \( A' \) als elke open omgeving van \( x \) een punt van \( A \) bevat dat verschillend is van \( x \).
1] Insluiting: \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)
Aangezien \( A \subseteq \text{Cl}(A) \) per definitie geldt, volstaat het te laten zien dat ook \( A' \subseteq \text{Cl}(A) \).
Zij \( x \in A' \). Stel dat \( x \notin \text{Cl}(A) \). Dan bestaat er een open verzameling \( U \ni x \) waarvoor \( U \cap A = \emptyset \), wat in tegenspraak is met het feit dat elke omgeving van \( x \) een punt van \( A \) bevat. Hieruit volgt dat \( x \in \text{Cl}(A) \), en dus:
$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$
2] Insluiting: \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)
Zij \( x \in \text{Cl}(A) \). Als \( x \in A \), dan is er niets te bewijzen. Als \( x \notin A \), maar wel \( x \in \text{Cl}(A) \), dan snijdt elke open verzameling \( U \ni x \) de verzameling \( A \), zodat \( x \in A' \). We besluiten hieruit:
$$ x \in A \cup A' $$
Conclusie
Omdat beide insluitingen zijn aangetoond, volgt onvermijdelijk dat:
$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$
Deze karakterisering vormt een kernresultaat binnen de topologie en biedt een helder inzicht in de structuur van afgesloten verzamelingen.
