Het inwendige van een deelverzameling van R bepalen

Hoe bepaal je het inwendige van een verzameling in R? In een topologische ruimte met de gebruikelijke topologie kan dit op een eenvoudige en inzichtelijke manier worden verkend met behulp van een kort script in R.

We beginnen met het definiëren van twee open intervallen, $ A $ en $ B $.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Deze vectoren stellen respectievelijk de open intervallen $ (1, 3) $ en $ (0, 4) $ op de reële getallenlijn voor.

Het interval $ A $ komt dus overeen met $ (1,3) $.

> cat("Interval A :", A, "\n")

Interval A : 1 3

Op dezelfde manier beschrijft $ B $ het interval $ (0,4) $.

> cat("Interval B :", B, "\n")

Interval B : 0 4

Vervolgens definiëren we een functie die het inwendige van deze verzamelingen numeriek benadert.

In de topologie is het inwendige van een verzameling gedefinieerd als de vereniging van alle open verzamelingen die volledig in die verzameling zijn opgenomen.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Met deze functie kunnen we nu een praktische benadering bepalen van het inwendige van $ A $ en $ B $.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

We bekijken vervolgens de resultaten.

Het inwendige van de verzameling $ A = (1,3) $ bestaat uit alle open intervallen die erin vervat zijn. Dit komt overeen met: $\text{Int}(A) = (1,3)$.

> cat("Inwendige van A :", Int_A, "\n")

Inwendige van A : 1.00001 2.99999

Analoog geldt voor het inwendige van $ B = (0,4) $: $\text{Int}(B) = (0,4)$.

> cat("Inwendige van B :", Int_B, "\n")

Inwendige van B : 1e-05 3.99999

Een klassieke eigenschap van inwendigen in de topologie stelt dat, als $ A \subseteq B $, dan ook geldt:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Deze eigenschap kan eenvoudig worden gecontroleerd met het volgende script:

cat("Int(A) is inbegrepen in Int(B) :", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) is inbegrepen in Int(B) : TRUE

De uitvoer bevestigt dat het inwendige van $ A $ inderdaad volledig vervat is in het inwendige van $ B $.

Dit voorbeeld laat zien hoe abstracte topologische begrippen op een concrete en toegankelijke manier kunnen worden onderzocht met behulp van R.