Ángulos Asociados: α y π/2 + α en Trigonometría
En trigonometría, los ángulos alfa (α) y π/2 + α se denominan ángulos asociados, y permiten aplicar las siguientes fórmulas de transformación: $$ \sin\left( \frac{ \pi }{2} + \alpha \right) = \cos(\alpha) $$ $$ \cos\left( \frac{ \pi }{2} + \alpha \right) = -\sin(\alpha) $$ $$ \tan\left( \frac{ \pi }{2} + \alpha \right) = - \cot(\alpha) $$ $$ \cot\left( \frac{ \pi }{2} + \alpha \right) = - \tan(\alpha) $$
Al tratarse de ángulos asociados, las funciones seno, coseno, tangente y cotangente de estos ángulos poseen el mismo valor absoluto, aunque puedan diferir en el signo.
Demostración y explicación
Analicemos el ángulo α y el ángulo π/2 + α sobre la circunferencia unitaria.
La diferencia entre ambos ángulos es de 90°, es decir, π/2 radianes.
Debido a esta diferencia, los triángulos rectángulos OAB y OCD son congruentes, ya que comparten el mismo ángulo agudo (α) y poseen hipotenusas de igual longitud (OA = OC).
La congruencia implica que ambos triángulos tienen lados y ángulos correspondientes iguales.
Así, el segmento OB (coseno de α) es igual al segmento OD (seno de π/2 + α).
Por lo tanto, el seno de π/2 + α es igual al coseno de α:
$$ \sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos \alpha $$
De manera análoga, el segmento AB es igual al segmento CD.
El segmento AB representa el seno de α, mientras que el segmento CD corresponde al coseno negativo de π/2 + α.
$$ \overline{CD} = \overline{AB} $$
$$ - \cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \sin \alpha $$
Multiplicando ambos miembros por -1 obtenemos:
$$ \cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin \alpha $$
En consecuencia, el coseno de π/2 + α es igual al seno negativo de α:
$$ \cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = - \sin \alpha $$
Con las fórmulas de transformación de seno y coseno, podemos deducir las de tangente y cotangente.
La tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno:
$$ \tan\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \frac{ \sin\left(\frac{\pi}{2} + \alpha \right) }{ \cos\left(\frac{\pi}{2} + \alpha \right) } $$
Ya que sen(π/2 + α) = cos(α) y cos(π/2 + α) = -sen(α), se deduce:
$$ \tan\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \frac{ \cos \alpha }{ - \sin \alpha } = - \cot \alpha $$
Por tanto, la tangente de π/2 + α es igual a la cotangente negativa de α.
Por su parte, la cotangente se define como el cociente entre el coseno y el seno:
$$ \cot\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \frac{ \cos\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) }{ \sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) } $$
Como sen(π/2 + α) = cos(α) y cos(π/2 + α) = -sen(α), se obtiene:
$$ \cot\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \frac{ - \sin \alpha }{ \cos \alpha } = - \tan \alpha $$
Por consiguiente, la cotangente de π/2 + α equivale a la tangente negativa de α.
Ejemplo práctico
Calculemos el seno de 150°:
$$ \sin 150° $$
Podemos expresar 150° como la suma de 90° + 60°:
$$ \sin 150° = \sin\left( 90° + 60° \right) $$
En radianes, esto se expresa así:
$$ \sin 150° = \sin\left( \frac{\pi}{2} + \frac{\pi}{3} \right) $$
Los ángulos π/2 + α y α son ángulos asociados, donde α = π/3 (equivalente a 60°).
$$ \sin\left( \frac{\pi}{2} + \alpha \right) = \cos(\alpha) $$
Por tanto, el seno de 150° es igual al coseno de 60°:
$$ \sin 150° = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) $$
Como el coseno de 60° es 1/2, el seno de 150° también es 1/2:
$$ \sin 150° = \frac{1}{2} $$
$$ \sin 150° = \frac{1}{2} $$
Así se obtiene el resultado.
