Ángulos Asociados: α y π/2 - α en Trigonometría
En trigonometría, los ángulos alfa (α) y π/2 - α se denominan ángulos asociados y permiten aplicar las siguientes fórmulas de transformación: $$ \sin\left( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right) = \cos(\alpha) $$ $$ \cos\left( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right) = \sin(\alpha) $$ $$ \tan\left( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right) = \cot(\alpha) $$ $$ \cot\left( \frac{ \pi }{2} - \alpha \right) = \tan(\alpha) $$
Los ángulos α y π/2 - α son ángulos asociados, lo que significa que las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente presentan el mismo valor absoluto, aunque puedan diferir en el signo.
Demostración y explicación
Analicemos el ángulo α y el ángulo π/2 - α en la circunferencia unitaria.
Los ángulos α y π/2 - α son ángulos complementarios porque su suma equivale a 90° (π/2), es decir, un ángulo recto.
$$ \alpha + \left(\frac{\pi}{2} - \alpha\right) = \frac{\pi}{2} $$
Podemos construir dos triángulos rectángulos, OAB y OCD, sobre la circunferencia unitaria.
En ambos triángulos conocemos ya dos de sus ángulos.
Dado que la suma de los ángulos interiores de un triángulo es π (180°), podemos determinar el ángulo restante en cada figura.
Nota: En el primer triángulo, OAB, uno de los ángulos es agudo (α) y otro es recto (π/2 o 90°). Por tanto, el ángulo restante debe ser π/2 - α, ya que la suma de los ángulos es 180° (π). En el segundo triángulo, OCD, uno de los ángulos es π/2 - α, y otro es recto (π/2 o 90°), lo que deja al ángulo α como el tercero, pues la suma de los ángulos debe ser nuevamente 180° (π).
Por lo tanto, los triángulos OAB y OCD son congruentes, ya que tienen los mismos ángulos y la misma hipotenusa.
Esto implica que sus lados correspondientes también tienen igual longitud.
Así, el segmento OB (coseno de α) es igual al segmento CD (seno de π/2 - α).
Por lo tanto, el seno de π/2 - α es igual al coseno de α:
$$ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos \alpha $$
De forma análoga, el segmento AB (seno de α) es igual al segmento OD (coseno de π/2 - α).
Por ello, el coseno de π/2 - α es igual al seno de α:
$$ \cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \sin \alpha $$
Conociendo las fórmulas de transformación para el seno y el coseno, podemos deducir las equivalentes para la tangente y la cotangente.
La tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno:
$$ \tan\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) }{ \cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) } $$
Dado que sen(π/2 - α) = cos(α) y cos(π/2 - α) = sen(α), se obtiene:
$$ \tan\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{ \cos \alpha }{ \sin \alpha } = \cot \alpha $$
Por tanto, la tangente de π/2 - α es igual a la cotangente de α.
La cotangente se define como el cociente entre el coseno y el seno:
$$ \cot\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{ \cos\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) }{ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) } $$
De nuevo, sabiendo que sen(π/2 - α) = cos(α) y cos(π/2 - α) = sen(α), se deduce:
$$ \cot\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \frac{ \sin \alpha }{ \cos \alpha } = \tan \alpha $$
Por lo tanto, la cotangente de π/2 - α es igual a la tangente de α.
Ejemplo práctico
Calculemos el seno de 30°:
$$ \sin 30° $$
Podemos expresar este ángulo como: 90° - 60°:
$$ \sin\left( 90° - 60° \right) $$
En radianes, esto se expresa así:
$$ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right) $$
Los ángulos π/2 - α y α son ángulos asociados, donde α = π/3 (equivalente a 60°).
$$ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \alpha \right) = \cos(\alpha) $$
Por lo tanto:
$$ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) $$
Como el coseno de 60° es 1/2:
$$ \sin\left( \frac{\pi}{2} - \frac{\pi}{3} \right) = \cos\left( \frac{\pi}{3} \right) = \frac{1}{2} $$
Por tanto, el seno de 30° es 1/2:
$$ \sin 30° = \frac{1}{2} $$
Y con esto se concluye el cálculo.
