Ángulos Asociados α y π+α
En trigonometría, los ángulos alfa (α) y π+α permiten aplicar las siguientes fórmulas de transformación: $$ \sin(\pi+\alpha) = -\sin(\alpha) $$ $$ \cos(\pi+\alpha) = -\cos(\alpha) $$ $$ \tan(\pi+\alpha) = \tan(\alpha) $$ $$ \cot(\pi+\alpha) = \cot(\alpha) $$
Como ángulos asociados, α y π+α poseen el mismo valor absoluto en las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente.
Demostración y explicación
Consideremos un ángulo α y su ángulo asociado π+α en una circunferencia unitaria.
La diferencia entre α y π+α es un ángulo llano de 180° (π).
$$ (\pi + \alpha) - \alpha = \pi $$
Construyamos ahora dos triángulos rectángulos, OAB y OCD.
Los triángulos rectángulos OAB y OCD son congruentes, ya que comparten la misma hipotenusa (OA = OC) y poseen el mismo ángulo agudo (α), además del ángulo recto (90°).
En consecuencia, ambos triángulos tienen lados y ángulos iguales.
De este modo, α y π+α presentan el mismo valor absoluto en la función seno, puesto que las alturas de los triángulos son iguales: AB = CD.
$$ \sin \alpha = | \sin (\pi + \alpha) | $$
Visualmente se observa lo siguiente:
No obstante, el segmento AB se encuentra en el semieje positivo de y, mientras que CD se sitúa en el semieje negativo de y.
Por tanto, los senos de los ángulos asociados α y π+α tienen signos opuestos.
$$ \sin \alpha = - \sin (\pi + \alpha) $$
Nota: Multiplicando ambos miembros de la ecuación por -1, también se puede expresar la relación de forma inversa: $$ (-1) \cdot \sin \alpha = (-1) \cdot (- \sin (\pi + \alpha)) $$ $$ - \sin \alpha = \sin (\pi + \alpha) $$
De manera análoga, α y π+α tienen el mismo valor absoluto en la función coseno, dado que OB = OD.
En este caso, los valores del coseno también son opuestos, ya que OC se sitúa sobre el semieje negativo de x, mientras que OB está sobre el semieje positivo.
$$ \cos \alpha = - \cos (\pi + \alpha) $$
Nota: Multiplicando ambos lados por -1, la igualdad se puede expresar en sentido inverso: $$ (-1) \cdot \cos \alpha = (-1) \cdot ( - \cos (\pi + \alpha) ) $$ $$ - \cos \alpha = \cos (\pi + \alpha) $$
Así pues, los cosenos de los ángulos asociados α y π+α tienen signos contrarios.
A partir de esto, podemos deducir las fórmulas de transformación para la tangente y la cotangente.
La tangente se define como el cociente entre el seno y el coseno:
$$ \tan (\pi + \alpha) = \frac{ \sin (\pi + \alpha) }{ \cos (\pi + \alpha) } $$
Sabiendo que sen(π+α) = -sen(α) y cos(π+α) = -cos(α), se obtiene:
$$ \tan (\pi + \alpha) = \frac{ - \sin \alpha }{ - \cos \alpha } = \tan \alpha $$
Por tanto, la tangente de π+α es igual a la tangente de α.
La cotangente se define como el cociente entre el coseno y el seno:
$$ \cot (\pi + \alpha) = \frac{ \cos (\pi + \alpha) }{ \sin (\pi + \alpha) } $$
Como sen(π+α) = -sen(α) y cos(π+α) = -cos(α), se obtiene:
$$ \cot (\pi + \alpha) = \frac{ - \cos \alpha }{ - \sin \alpha } = \cot \alpha $$
Así, la cotangente de π+α coincide con la cotangente de α.
En conclusión, los ángulos asociados α y π+α tienen el mismo valor para la tangente y la cotangente.
Ejemplo práctico
Calculemos el seno de 210°:
$$ \sin 210° $$
Podemos expresar 210° como la suma de 180° + 30°:
$$ \sin 210° = \sin (180° + 30°) $$
En radianes, se expresa así:
$$ \sin 210° = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) $$
Los ángulos π+α y α son ángulos asociados, siendo α = π/6 (equivalente a 30°).
$$ \sin (\pi + \alpha) = -\sin(\alpha) $$
Por tanto, el seno de 210° es el opuesto del seno de 30°:
$$ \sin 210° = \sin \left( \pi + \frac{\pi}{6} \right) = -\sin \left( \frac{\pi}{6} \right) $$
Dado que el seno de 30° es 1/2, el seno de 210° es -1/2:
$$ \sin 210° = - \frac{1}{2} $$
Y así sucesivamente.
