Rectas tangentes a una curva

Imaginemos una recta secante $ s $ que corta una curva en dos puntos distintos $ P $ y $ Q $. Si el punto $ Q $ se desplaza sobre la curva acercándose cada vez más a $ P $, la recta secante cambia progresivamente de posición hasta aproximarse a una recta límite. Esa recta límite se denomina recta tangente $ t $ a la curva en el punto $ P $.
recta tangente a una curva

La recta tangente es la recta que, cerca de un punto concreto, sigue la misma dirección que la curva.

En otras palabras, si ampliamos mucho la zona alrededor del punto de tangencia, la curva y la recta tangente llegan a verse prácticamente iguales dentro de una región muy pequeña.

Una recta tangente no siempre toca la curva en un solo punto. En muchas curvas, la tangente puede volver a intersectar la curva en otros puntos diferentes.

ejemplo de recta tangente

Sin embargo, algunas curvas tienen propiedades geométricas especiales. Por ejemplo, en las circunferencias y las elipses, la recta tangente posee un único punto de contacto con la curva.

Ejemplo. En una circunferencia, la recta tangente en un punto es perpendicular al radio $ r $ trazado hasta el punto de tangencia $ P $. En este caso, la recta toca la circunferencia en un único punto.
ejemplo de recta tangente a una circunferencia

Cómo obtener la ecuación de la recta tangente mediante derivadas

Si la curva es la gráfica de una función $ y=f(x) $, la recta tangente en un punto puede calcularse utilizando derivadas.

La derivada $ f'(x_0) $ representa la pendiente de la recta tangente en el punto cuya coordenada es $ x_0 $.

Una vez conocida la pendiente, la ecuación de la recta tangente puede escribirse mediante la forma punto-pendiente:

$ y-f(x_0)=f'(x_0)(x-x_0) $

o, de manera equivalente,

$ y=f'(x_0)(x-x_0)+f(x_0) $

Ejemplo

Consideremos la parábola

$ f(x)=x^2 $

Queremos calcular la recta tangente en el punto donde $ x_0=1 $.

Primero determinamos el punto correspondiente sobre la curva:

$ f(1)=1^2=1 $

Por tanto, el punto de tangencia es $ P(1,1) $.

ejemplo de recta tangente en una parábola

Ahora escribimos la ecuación general de una recta que pasa por ese punto:

\[ (y-y_0)=m \cdot (x-x_0) \]

Sustituyendo las coordenadas de $ P $:

\[ (y-1)=m \cdot (x-1) \]

A continuación calculamos la derivada de la función:

$ f'(x)=2x $

Evaluamos la derivada en $ x_0=1 $:

$ f'(1)=2 $

Por consiguiente, la pendiente de la recta tangente es

$ m=2 $

Sustituimos este valor en la ecuación de la recta:

$ y-1=2(x-1) $

Simplificando:

$ y-1=2x-2 $

$ y=2x-1 $

Por lo tanto, la recta tangente a la parábola $ y=x^2 $ en el punto $ P(1,1) $ es

$ y=2x-1 $

La recta tangente permite describir el comportamiento local de la función alrededor del punto de tangencia.

recta tangente a una parábola

Y así sucesivamente.