Kako odrediti unutra&scaron;njost skupa u R

Unutrašnjost skupa jedan je od temeljnih pojmova topologije. U nastavku ćemo vidjeti kako se ovaj koncept može jednostavno ilustrirati pomoću kratkog i razumljivog skripta u programskom jeziku R, u kontekstu uobičajene topologije na skupu realnih brojeva.

Za početak definirajmo dva otvorena intervala, $ A $ i $ B $.

A <- c(1, 3)
B <- c(0, 4)

Ovi vektori predstavljaju otvorene intervale $ (1, 3) $ i $ (0, 4) $ u skupu realnih brojeva $ \mathbb{R} $.

Drugim riječima, interval $ A $ odgovara otvorenom skupu $ (1,3) $.

> cat("Interval A :", A, "\n")

Interval A : 1 3

Analogno tome, interval $ B $ predstavlja otvoreni skup $ (0,4) $.

> cat("Interval B :", B, "\n")

Interval B : 0 4

Kako bismo numerički ilustrirali pojam unutrašnjosti, definirajmo jednostavnu funkciju koja aproksimira unutrašnjost zadanog intervala.

U topologiji se unutrašnjost skupa definira kao unija svih otvorenih skupova koji su u potpunosti sadržani u tom skupu.

internal <- function(interval) {
c(interval[1] + 0.00001, interval[2] - 0.00001)
}

Pomoću ove funkcije možemo izračunati jednostavnu numeričku aproksimaciju unutrašnjosti skupova $ A $ i $ B $.

Int_A <- internal(A)

Int_B <- internal(B)

Pogledajmo sada dobivene rezultate.

Unutrašnjost skupa $ A = (1,3) $ jednaka je samom tom intervalu, budući da je $ A $ otvoren skup. Dakle vrijedi: $\text{Int}(A) = (1,3)$.

> cat("Unutrašnjost A :", Int_A, "\n")

Unutrašnjost A : 1.00001 2.99999

Na isti način, unutrašnjost skupa $ B = (0,4) $ jednaka je: $\text{Int}(B) = (0,4)$.

> cat("Unutrašnjost B :", Int_B, "\n")

Unutrašnjost B : 1e-05 3.99999

Prema klasičnom svojstvu unutrašnjosti u topologiji, ako vrijedi uključivanje $ A \subseteq B $, tada nužno vrijedi i:

$$ \text{Int}(A) \subseteq \text{Int}(B) $$

Ovu tvrdnju možemo jednostavno provjeriti sljedećim skriptom:

cat("Int(A) je sadržan u Int(B) :", all(Int_A >= Int_B[1] & Int_A <= Int_B[2]), "\n")

Int(A) je sadržan u Int(B) : TRUE

Rezultat jasno potvrđuje da je unutrašnjost skupa $ A $ uistinu sadržana u unutrašnjosti skupa $ B $.

Ovaj jednostavan primjer pokazuje kako se apstraktni topološki pojmovi mogu učiniti pristupačnijima i razumljivijima pomoću računalnih alata kao što je programski jezik R.