Zatvorenje skupa kao unija skupa i njegovih akumulacijskih točaka

U topološkom prostoru $ X $, zatvorenje skupa $ A $, označeno s $\text{Cl}(A)$, definira se kao unija samog skupa $ A $ i skupa $ A' $ njegovih akumulacijskih točaka : $$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

Ovaj teorem pruža jednostavnu, ali vrlo snažnu karakterizaciju zatvorenja podskupa $ A $ u topološkom prostoru $(X, \tau)$.

Intuitivno, zatvorenje obuhvaća sve točke koje su na neki način « u dodiru » sa skupom $ A $. To uključuje kako same elemente skupa $ A $, tako i one točke koje se mogu proizvoljno blisko približiti elementima iz $ A $.

Važno je imati na umu da akumulacijske točke ne moraju nužno pripadati samom skupu $ A $.

Iz ove karakterizacije odmah slijedi važna posljedica : skup $ A $ je zatvoren ako i samo ako sadrži sve svoje akumulacijske točke, odnosno $$ A \text{ je zatvoren } \ \Leftrightarrow \ A = A \cup A' = \text{Cl}(A) $$ Drugim riječima, skup je zatvoren upravo onda kada se podudara sa svojim zatvorenjem.

Konkretan primjer
Dokaz teorema

Konkretan primjer

Razmotrimo otvoreni interval $ A = (0, 1) $ u skupu realnih brojeva $ \mathbb{R} $, opremljenom uobičajenom topologijom.

$$ A = (0,1) $$

Ovaj skup sadrži sve realne brojeve strogo između 0 i 1, ali ne uključuje granične točke.

Pogledajmo koje su akumulacijske točke skupa $ A $ :

Svaka točka $ x \in (0,1) $ jest akumulacijska točka, jer svaka njezina okolina sadrži druge elemente skupa $ A $.
Točka $ 0 $ je također akumulacijska točka, budući da svaka otvorena okolina točke $ 0 $, poput $ (0, \varepsilon) $, presijeca skup $ A $.
Isto vrijedi i za točku $ 1 $, jer svaka njezina okolina, primjerice $ (1-\varepsilon, 1) $, sadrži točke iz skupa $ A $.

Prema tome, skup svih akumulacijskih točaka iznosi :

$$ A' = [0,1] $$

Zatvorenje skupa $ A $ tada je :

$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' = [0,1] $$

Budući da skup $ A $ ne sadrži točke $ 0 $ i $ 1 $, vrijedi $$ A \ne \text{Cl}(A) $$ pa zaključujemo da skup $ A $ nije zatvoren u uobičajenoj topologiji skupa $ \mathbb{R} $.

Drugi primjer

Razmotrimo sada skup $ B = [0, 1] $, zatvoreni interval u skupu $ \mathbb{R} $.

$$ B = [0,1] $$

Za svaku točku $ x \in B $ vrijedi :

Ako je $ x \in (0,1) $, svaka okolina točke $ x $ sadrži druge točke skupa $ B $, pa je $ x \in B' $.
Ako je $ x = 0 $ ili $ x = 1 $, svaka okolina tih točaka također sadrži elemente skupa $ B $ različite od same točke.

Iz toga slijedi da je skup akumulacijskih točaka :

$$ B' = [0,1] $$

Otuda dobivamo :

$$ \text{Cl}(B) = B \cup B' = [0,1] $$

Budući da se skup $ B $ podudara sa svojim zatvorenjem, zaključujemo da je $ B $ zatvoren skup u $ \mathbb{R} $.

Dokaz teorema

Pokažimo sada formalno da za svaki skup $ A \subseteq X $ vrijedi :

$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

Podsjetimo se ključnih definicija :

Zatvorenje : $ \text{Cl}(A) $ je presjek svih zatvorenih skupova koji sadrže skup $ A $.
Akumulacijska točka : točka $ x \in X $ pripada skupu $ A' $ ako svaka otvorena okolina točke $ x $ sadrži barem jednu točku iz skupa $ A $ različitu od $ x $.

1] Uključenje : $ A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) $

Kako po definiciji vrijedi $ A \subseteq \text{Cl}(A) $, preostaje pokazati da svaka akumulacijska točka pripada zatvorenju.

Neka je $ x \in A' $. Kada bi $ x \notin \text{Cl}(A) $, postojao bi otvoreni skup $ U \ni x $ takav da je $ U \cap A = \emptyset $, što je u izravnoj suprotnosti s definicijom akumulacijske točke. Stoga mora vrijediti :

$$ A' \subseteq \text{Cl}(A) $$

2] Uključenje : $ \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' $

Neka je $ x \in \text{Cl}(A) $. Ako je $ x \in A $, tvrdnja je očita. U suprotnom, $ x \notin A $, ali tada svaka otvorena okolina točke $ x $ ima neprazan presjek sa skupom $ A $, što znači da je $ x $ akumulacijska točka skupa $ A $. Dakle :

$$ x \in A \cup A' $$

Zaključak

Budući da su oba uključenja dokazana, slijedi konačni zaključak :

$$ \text{Cl}(A) = A \cup A' $$

Ova jednakost izražava jedno od temeljnih svojstava zatvorenja i igra ključnu ulogu u razumijevanju strukture topoloških prostora.

Zatvorenje skupa kao unija skupa i njegovih akumulacijskih točaka

Konkretan primjer

Dokaz teorema

1] Uključenje : \( A \cup A' \subseteq \text{Cl}(A) \)

2] Uključenje : \( \text{Cl}(A) \subseteq A \cup A' \)

Zaključak