Cómo convertir entre grados y radianes

Las fórmulas para convertir entre grados y radianes son las siguientes: $$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{180°}{ \pi } $$ $$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

Un ejemplo práctico

Veamos el caso de un ángulo que mide 60°.

$$ \alpha = 60° $$

Su medida equivalente en radianes es \( \frac{1}{3} \pi \).

$$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

$$ \alpha_{rad} = 60° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

$$ \alpha_{rad} = \frac{1}{3} \pi $$

Ejemplo 2

Consideremos ahora un ángulo que mide \( \frac{2}{3} \pi \) radianes.

$$ \alpha = \frac{2}{3} \pi \ rad $$

Su medida equivalente en grados es 120°.

$$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{180°}{ \pi } $$

$$ \alpha ° = \frac{2}{3} \pi \cdot \frac{180°}{ \pi } $$

$$ \alpha ° = \frac{2}{3} \cdot 180° $$

$$ \alpha ° = 120° $$

Demostración

Para justificar las fórmulas de conversión entre grados y radianes, partimos de que un ángulo en grados se relaciona con un ángulo en radianes en la misma proporción que una circunferencia completa (360°) se relaciona con \( 2\pi \) radianes.

$$ \alpha ° \ : \ \alpha_{rad} = 360° \ : \ 2 \pi $$

De esta proporción, obtenemos:

$$ \frac{ \alpha ° }{ \alpha_{rad} } = \frac{ 360° }{ 2 \pi } $$

Al simplificar, resulta:

$$ \frac{ \alpha ° }{ \alpha_{rad} } = \frac{ 180° }{ \pi } $$

Despejando el ángulo en grados, se obtiene la primera fórmula:

$$ \alpha ° = \alpha_{rad} \cdot \frac{ 180° }{ \pi } $$

Mientras que despejando el ángulo en radianes, se obtiene la segunda fórmula:

$$ \alpha_{rad} = \alpha ° \cdot \frac{ \pi }{ 180° } $$

Así es como se realiza la conversión.