Ángulos Asociados: α y 2π-α en Trigonometría

En trigonometría, los ángulos alfa (α) y 2π-α son ángulos asociados, lo que permite aplicar las siguientes fórmulas de transformación: $$ \sin(2 \pi - \alpha) = - \sin(\alpha) $$ $$ \cos(2 \pi - \alpha) = \cos(\alpha) $$ $$ \tan(2 \pi - \alpha) = - \tan(\alpha) $$ $$ \cot(2 \pi - \alpha) = - \cot(\alpha) $$

Al ser ángulos asociados, α y 2π-α tienen el mismo valor absoluto en las funciones trigonométricas seno, coseno, tangente y cotangente.

Demostración y explicación

Consideremos el ángulo α y el ángulo 2π-α en la circunferencia unitaria.

Los ángulos α y 2π-α son ángulos suplementarios, ya que su suma equivale a 360° (2π), es decir, a una vuelta completa.

Los valores de seno (y') y coseno (x') del ángulo 2π-α (en azul) coinciden en valor absoluto con los del ángulo orientado -α (en verde).

Este resultado puede demostrarse empleando la misma demostración para los ángulos opuestos α y -α, que recomiendo consultar para profundizar en el tema.

Las fórmulas de transformación que se cumplen para los ángulos asociados α y 2π-α son, en esencia, las mismas que las de α y -α.

Ejemplo práctico

Veamos cómo calcular el seno de 330°:

$$ \sin 330° $$

Podemos expresar este ángulo como 360° - 30°:

$$ \sin 330° = \sin (360° - 30°) $$

En radianes, esto se traduce en:

$$ \sin 330° = \sin \left( 2 \pi - \frac{\pi}{6} \right) $$

Los ángulos 2π-α y α son ángulos asociados, siendo α = π/6 (equivalente a 30°).

$$ \sin( 2 \pi - \alpha ) = - \sin(\alpha) $$

Por tanto, el seno de 330° es el opuesto del seno de 30°:

$$ \sin 330° = \sin \left( 2 \pi - \frac{\pi}{6} \right) = - \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) $$

Como sabemos que el seno de 30° es 1/2, el seno de 330° resulta ser -1/2:

$$ \sin 330° = \sin \left( 2 \pi - \frac{\pi}{6} \right) = - \sin \left( \frac{\pi}{6} \right) = - \frac{1}{2} $$

$$ \sin 330° = - \frac{1}{2} $$

Así se obtiene el resultado.