Associativiteit van het cartesisch product van topologische ruimten

Zij $X$, $Y$ en $Z$ topologische ruimten. De volgende producten $$ (X \times Y) \times Z $$ $$ X \times (Y \times Z) $$ $$ X \times Y \times Z $$ zijn onderling homeomorf: $$ (X \times Y) \times Z \cong X \times (Y \times Z) \cong X \times Y \times Z $$

Wat betekent dit concreet? Hoe we de factoren in een cartesisch product ook groeperen, de resulterende topologische ruimte blijft in wezen dezelfde, op homeomorfie na.

Het cartesisch product van topologische ruimten gedraagt zich dus associatief. Dat maakt het mogelijk om met producten van meerdere ruimten te werken zonder steeds stil te staan bij haakjes of volgorde.

Opmerking : In de praktijk vereenvoudigt deze eigenschap het werken met hogere-dimensionale ruimten aanzienlijk, omdat verschillende schrijfwijzen uiteindelijk tot dezelfde topologische structuur leiden.

Een concreet voorbeeld

We maken dit idee tastbaar met een bekend voorbeeld. Neem de reële getallen $\mathbb{R}$, uitgerust met de gebruikelijke topologie, en het vlak $\mathbb{R}^2$, voorzien van de producttopologie.

Beschouw drie kopieën van $\mathbb{R}$:

$X = \mathbb{R}$
$Y = \mathbb{R}$
$Z = \mathbb{R}$

We bekijken nu drie manieren om hun product te vormen:

Product $(X \times Y) \times Z$
Eerst nemen we $X \times Y$, wat het vlak $\mathbb{R}^2$ oplevert. Daarna vormen we het product met $Z$, zodat we $\mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}$ krijgen. De elementen van deze ruimte hebben de vorm $((x, y), z)$, met $x, y, z \in \mathbb{R}$. Deze ruimte is homeomorf met $\mathbb{R}^3$.
Product $X \times (Y \times Z)$
Hier beginnen we met $Y \times Z = \mathbb{R}^2$. Vervolgens nemen we het product met $X$, dus $\mathbb{R} \times \mathbb{R}^2$. De elementen zijn tripels van de vorm $(x, (y, z))$. Ook deze ruimte is homeomorf met $\mathbb{R}^3$.
Product $X \times Y \times Z$
Ten slotte kunnen we het product van de drie ruimten direct beschouwen. Dit levert tripels $(x, y, z)$ op met $x, y, z \in \mathbb{R}$. Ook dit is een ruimte die homeomorf is met $\mathbb{R}^3$.

In alle drie de gevallen krijgen we dus dezelfde topologische ruimte, namelijk $\mathbb{R}^3$, op homeomorfie na.

De manier waarop we de factoren groeperen, of de volgorde waarin we de producten nemen, verandert niets aan de uiteindelijke topologische structuur.

Dit voorbeeld laat helder zien dat het cartesisch product van topologische ruimten, ongeacht de gekozen associatie, steeds tot hetzelfde resultaat leidt.