Convergentie van rijen in een topologische ruimte

In een topologische ruimte $ X $ heet een punt $ x \in X $ de limiet van een rij $ (x_n) $ als voor elke omgeving $ U $ van $ x $ een natuurlijk getal $ N \in \mathbb{N} $ bestaat zodanig dat voor alle $ n \geq N $ geldt dat $ x_n \in U $.

Met andere woorden, een rij $ (x_n) $ convergeert naar $ x $ wanneer haar termen, vanaf een zekere index, binnen elke willekeurige omgeving van $ x $ blijven.

Deze eigenschap schrijven we kort als:

$$ \lim_{n \to \infty} x_n = x $$

In dat geval noemen we $ x $ de limiet van de rij.

Een concreet voorbeeld
Intuïtieve interpretatie

Een concreet voorbeeld

Beschouw de rij $ \left( \frac{1}{n} \right) $ in de topologische ruimte $ X = \mathbb{R} $, uitgerust met de gebruikelijke topologie.

$$ x_n = \frac{1}{n} $$

We willen laten zien dat deze rij convergeert naar 0.

Neem een willekeurige omgeving $ U $ van $ 0 $.

In de gebruikelijke topologie op $ \mathbb{R} $ bevat elke omgeving van $ 0 $ een open interval van de vorm $ (-\epsilon, \epsilon) $, met $ \epsilon > 0 $.

Het volstaat dus om een natuurlijk getal $ N \in \mathbb{N} $ te vinden zodat voor alle $ n \geq N $ geldt:

$$ \frac{1}{n} \in (-\epsilon, \epsilon) $$

Gegeven $ \epsilon > 0 $ kiezen we:

$$ N = \left\lceil \frac{1}{\epsilon} \right\rceil $$

Dan volgt voor alle $ n \geq N $:

$$ n \geq \frac{1}{\epsilon} \quad \Rightarrow \quad \frac{1}{n} \leq \epsilon $$

Daaruit krijgen we:

$$ \left| \frac{1}{n} \right| < \epsilon \quad \text{voor alle } n \geq N $$

Dit betekent dat alle termen van de rij, vanaf index $ N $, binnen de gekozen omgeving van 0 liggen. Omdat dit voor elke omgeving geldt, concluderen we:

$$ \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0 $$

Met andere woorden, de rij $ \frac{1}{n} $ nadert steeds dichter tot nul.

Intuïtieve interpretatie

De eerste termen van de rij maken dit gedrag zichtbaar:

$$ \begin{array}{|c|c|} \hline n & \frac{1}{n} \\ \hline 1 & 1 \\ 2 & 0.5 \\ 3 & 0.333 \\ 4 & 0.25 \\ 5 & 0.2 \\ 6 & 0.167 \\ 7 & 0.143 \\ 8 & 0.125 \\ 9 & 0.111 \\ 10 & 0.1 \\ \hline \end{array} $$

Kiezen we bijvoorbeeld $ N = 5 $, dan is $ x_5 = 0.2 $. Alle volgende termen liggen dan in de omgeving $ (0, 0.2) $.

voorbeeld van een rij die naar nul convergeert in de reële getallen

Kiezen we een grotere index, bijvoorbeeld $ N = 10 $, dan is $ x_{10} = 0.1 $ en liggen alle volgende termen binnen de kleinere omgeving $ (0, 0.1) $.

grafische illustratie van de convergentie van een rij in de reële getallen

Hoe verder we in de rij gaan, hoe dichter de waarden bij nul liggen. Dat is precies wat we bedoelen met convergentie.