Dichte deelverzamelingen in topologische ruimten

In een topologische ruimte $ X $ heet een deelverzameling $ A $ dicht als haar sluiting samenvalt met de volledige ruimte: $$ \text{Cl}(A) = X $$

Je kunt dit zo begrijpen: een dichte deelverzameling zit overal "tussen". Elk punt van $ X $ ligt ofwel al in $ A $, of kan zo dicht als je wilt benaderd worden met punten uit $ A $.

De sluiting van een verzameling bestaat uit haar eigen punten, samen met alle ophopingspunten.

Voorbeelden

Voorbeeld 1

In de gebruikelijke topologie op $ \mathbb{R} $ is de verzameling van rationale getallen $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} $ dicht.

Tussen twee willekeurige reële getallen vind je altijd een rationaal getal. Daarom kun je elk reëel getal zo nauwkeurig als je wilt benaderen met rationale getallen.

De sluiting van $ \mathbb{Q} $ is dus de volledige reële lijn:

$$ \text{Cl}(\mathbb{Q}) = \mathbb{R} $$

Dus $ \mathbb{Q} $ is dicht in $ \mathbb{R} $.

Opmerking. Hetzelfde geldt voor de irrationale getallen $ \mathbb{I} \subset \mathbb{R} $. Ook daarmee kun je elk reëel getal benaderen. Daarom geldt eveneens: $$ \text{Cl}(\mathbb{I}) = \mathbb{R} $$

Voorbeeld 2

In de cofiniete topologie op $ \mathbb{R} $ is ook de verzameling $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ dicht.

In deze topologie heet een verzameling open als haar complement eindig is. Omdat het complement van $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ slechts uit één punt bestaat, namelijk $ \{0\} $, is deze verzameling open.

Om de sluiting te bepalen, kijken we naar de ophopingspunten.

Als we het punt 0 toevoegen, krijgen we de volledige ruimte. Er bestaat bovendien geen gesloten deelverzameling die strikt kleiner is dan $ \mathbb{R} $ en toch $ \mathbb{R} \setminus \{0\} $ bevat. Daarom geldt:

$$ \text{Cl}(\mathbb{R} \setminus \{0\}) = \mathbb{R} $$

Dus ook deze verzameling is dicht in $ \mathbb{R} $.

Opmerking. Dit voorbeeld laat een typisch kenmerk van de cofiniete topologie zien: elke oneindige deelverzameling is automatisch dicht. De enige niet-triviale gesloten verzamelingen zijn namelijk de eindige verzamelingen en $ \mathbb{R} $ zelf. Daarom is de sluiting van elke oneindige verzameling altijd de volledige ruimte.

Voorbeeld 3

In de gebruikelijke topologie op $ \mathbb{R} $ is het open interval $ (0,1) $ niet dicht.

De sluiting ervan is het gesloten interval $ [0,1] $, omdat de eindpunten 0 en 1 ophopingspunten zijn:

$$ \text{Cl}((0,1)) = [0,1] $$

Aangezien deze sluiting niet gelijk is aan $ \mathbb{R} $, is $ (0,1) $ niet dicht in $ \mathbb{R} $.

Opmerking. Beschouw je $ (0,1) $ daarentegen als deelverzameling van $ [0,1] $, met de deelruimtetopologie, dan wordt het wél dicht. In dat geval is de sluiting namelijk $ [0,1] $. Dit laat zien dat dichtheid altijd afhangt van de ruimte waarin je werkt: $ (0,1) $ is niet dicht in $ \mathbb{R} $, maar wel in $ [0,1] $.

Enzovoort.