Quotiënttopologie

Zij $X$ een topologische ruimte en $A$ een verzameling die niet noodzakelijk een deelverzameling van $X$ is. Veronderstel dat er een surjectieve afbeelding $p : X \rightarrow A$ bestaat. Een deelverzameling $U$ van $A$ heet open als, en slechts als, $p^{-1}(U)$ open is in $X$.

In eenvoudigere woorden: een verzameling $U \subseteq A$ is open in de quotiënttopologie precies wanneer haar inverse beeld $p^{-1}(U)$ open is in $X$.

intuïtieve illustratie van de quotiënttopologie

Met dit principe kunnen we $A$ uitrusten met een nieuwe topologie, de quotiënttopologie, die rechtstreeks wordt afgeleid van de structuur van $X$ via de afbeelding $p$.

De verzameling $A$ heet dan een quotiëntruimte en de afbeelding $p$ een quotiëntafbeelding.

De open verzamelingen in $A$ vormen samen de topologie die men vaak aanduidt als de "door $p$ geïnduceerde quotiënttopologie".

Kernidee: in een quotiënttopologie wordt openheid niet rechtstreeks bepaald in $A$, maar via wat er gebeurt in $X$.

Let op twee belangrijke punten:

Het inverse beeld van een open verzameling in $A$ is altijd open in $X$.
Het beeld van een open verzameling van $X$ is in het algemeen niet open in $A$.

Een quotiëntruimte ontstaat dus door punten van een ruimte met elkaar te identificeren volgens een equivalentierelatie. Intuïtief kun je zeggen dat we bepaalde punten "samenplakken" om een nieuwe ruimte te vormen.

Waarom is dit nuttig? Omdat we zo complexe ruimten kunnen bestuderen via eenvoudigere ruimten waarvan we de eigenschappen al goed begrijpen.

Uitleg
Een concreet voorbeeld
Eigenschappen van de quotiënttopologie

Uitleg

Het idee van de quotiënttopologie wordt duidelijker met een concreet beeld.

Neem een vierkant stuk papier. Als je twee tegenoverliggende zijden aan elkaar plakt, ontstaat er een cilinder.

vorming van een cilinder door twee zijden van een vierkant samen te voegen

Plak je vervolgens ook de twee cirkelvormige randen van de cilinder aan elkaar, dan krijg je een torus, een donutvormig oppervlak.

https://www.andreaminini.eu/nl/math/doorsneden-van-open-verzamelingen-in-een-quotienttopologie

In beide stappen verander je de ruimte door bepaalde randen te identificeren. Dat is precies wat de quotiënttopologie formeel beschrijft.

Algemeen principe: nieuwe topologische ruimten ontstaan door delen van een bestaande ruimte met elkaar te identificeren.

Een concreet voorbeeld

Beschouw de ruimte $ X = [0, 1] $, met de gebruikelijke topologie. Open verzamelingen zijn hier open intervallen of unies daarvan.

$X$ en $ \emptyset $ zijn open.
Elk interval $ (a,b) $ met $ 0 \leq a < b \leq 1 $ is open.

We kunnen $X$ voorstellen als een lijnsegment van 0 tot 1.

lijnsegment dat het interval van 0 tot 1 voorstelt

Nu identificeren we de punten 0 en 1. We beschouwen ze dus als één enkel punt.

Definieer de afbeelding $ p : [0, 1] \rightarrow A $ als volgt:

$$ p(x) = \begin{cases} p(0) & \text{als } x = 0 \text{ of } x = 1 \\ \\ x & \text{als } 0 < x < 1 \end{cases} $$

De ruimte $A$ die zo ontstaat, kun je zien als een cirkel: het lijnsegment is "gesloten" doordat de uiteinden samenvallen.

vorming van een cirkel door de uiteinden van een segment samen te voegen

Het punt $P = \{0,1\}$ stelt hier de samengevoegde uiteinden voor.

Een verzameling $U \subseteq A$ is open als het inverse beeld $p^{-1}(U)$ open is in $[0,1]$.

Enkele typische gevallen:

Interval $ (a,b) $ zonder $P$
Het inverse beeld is gewoon $ (a,b) $, dus $U$ is open.
Interval $ (a,b) $ dat $P$ bevat
Het inverse beeld is $ [0,a) \cup (b,1] $, een open verzameling in $X$. Dus ook $U$ is open.

We hebben dus een cirkel geconstrueerd uit een eenvoudig lijnsegment.

Voorbeeld 2

In dit voorbeeld zien we hoe je de reële lijn kunt "omvormen" tot een cirkel met behulp van de quotiënttopologie.

We vertrekken van de reële lijn $ \mathbb{R} $, die oneindig doorloopt in beide richtingen.

Het idee is eenvoudig maar krachtig: we identificeren elk reëel getal met zijn fractiedeel. Zo "rollen" we de lijn als het ware op tot een cirkel.

Formeel gebeurt dit via de afbeelding:

$ p(x) = x \mod 1 $

Concreet betekent dit dat we van elk getal alleen het deel na de komma behouden. Dat bepaalt waar het punt op de cirkel terechtkomt.

Bijvoorbeeld: $1{,}3$ en $2{,}3$ hebben hetzelfde fractiedeel (0,3) en worden dus op exact hetzelfde punt van de cirkel afgebeeld.
visualisatie van het opwikkelen van de reële lijn tot een cirkel via modulo 1

Elke keer dat je 1 optelt bij $x$, verandert het beeld niet. Alle getallen die een geheel aantal verschillen, vallen dus samen op de cirkel.

In het bijzonder worden de punten 0 en 1 geïdentificeerd, en hetzelfde geldt voor alle getallen die daaraan congruent zijn modulo 1.

Laten we nu kijken wat er gebeurt met enkele intervallen.

Interval (0,1)
Dit wordt een open boog op de cirkel. Het blijft open, omdat het inverse beeld in $ \mathbb{R} $ open is.
Interval (1,2)
Dit interval geeft precies dezelfde boog als (0,1). Het voegt dus niets nieuws toe.
Interval (0,2)
Dit interval bedekt de hele cirkel. Hoewel het open is in $ \mathbb{R} $, wordt het beeld de volledige ruimte, die hier zowel open als gesloten (clopen) is.

Belangrijk inzicht: een open verzameling in $ \mathbb{R} $ blijft niet noodzakelijk open na projectie op de cirkel.

Omgekeerd geldt wel dat elke open verzameling op de cirkel altijd een open inverse beeld heeft in $ \mathbb{R} $.

Als je een open deel van de cirkel "uitrolt" naar $ \mathbb{R} $, krijg je namelijk een (oneindige) verzameling open intervallen.

Conclusie

De quotiënttopologie laat zien dat een projectie de structuur van een ruimte kan veranderen. Je kunt dus niet zomaar aannemen dat open verzamelingen behouden blijven onder zo'n afbeelding.

Voorbeeld 3

In dit voorbeeld bouwen we een quotiëntruimte op basis van een eindige rij opeenvolgende gehele getallen. Het idee is eenvoudig: we nemen een reeks en laten het eerste en het laatste element samenvallen.

Beschouw de volgende verzameling:

$$ I_7 = \{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7\} $$

Dit is een discreet interval, omdat de elementen opeenvolgende gehele getallen zijn.

Nu identificeren we de punten 1 en 7. Met andere woorden: we "sluiten" de rij tot een lus, zoals je een rechte lijn tot een cirkel zou buigen.

sluiten van een discrete rij tot een cirkel door de eindpunten te identificeren

Het resultaat is een discrete cirkel $ C_6 $, bestaande uit 6 punten die in een kring met elkaar verbonden zijn.

Elk punt heeft precies twee buren. De structuur is dus cyclisch: je kunt blijven rondgaan zonder ooit een begin of einde tegen te komen.

Dit is een typisch voorbeeld van een quotiëntruimte: we vertrekken van een eenvoudige verzameling en creëren een nieuwe ruimte door punten met elkaar te identificeren.

Opmerking: Dit lijkt op wat we doen bij een reëel interval waarvan we de uiteinden samenvoegen. Het verschil is dat we hier met een eindige, discrete structuur werken.

De discrete cirkel wordt ook bestudeerd in de digitale topologie, waar men werkt met eindige verzamelingen en expliciete buurrelaties.

In dat kader is een verzameling $ U $ open als elk punt in $ U $ ook zijn buren in $ U $ heeft, volgens een gekozen vorm van connectiviteit.

Het is echter belangrijk om te onthouden dat quotiënttopologie en digitale topologie verschillende theoretische kaders zijn, ook al kunnen ze tot vergelijkbare objecten leiden.

Voorbeeld 4

Laten we nu een ander type voorbeeld bekijken, gebaseerd op de reële getallen.

Beschouw $ \mathbb{R} $ met de gebruikelijke topologie en definieer de afbeelding:

$$ p(x) = \begin{cases} a \quad \text{als} \quad x < 0 \\ \\ b \quad \text{als} \quad x = 0 \\ \\ c \quad \text{als} \quad x > 0 \\ \end{cases} $$

Deze afbeelding groepeert de getallen in drie klassen:

alle negatieve getallen worden samengevoegd tot het punt $ a $,
het punt 0 wordt afgebeeld op $ b $,
alle positieve getallen worden samengevoegd tot het punt $ c $.

De quotiënttopologie op $ \{a, b, c\} $ wordt bepaald via inverse beelden.

We hebben:

$ p^{-1}(a) = (-\infty, 0) $, open in $ \mathbb{R} $,
$ p^{-1}(b) = \{0\} $, niet open,
$ p^{-1}(c) = (0, \infty) $, open.

Daaruit volgt dat de volgende verzamelingen open zijn:

$ \{a\} $,
$ \{c\} $,
$ \{a, c\} $,
$ \{a, b, c\} $,
$ \emptyset $.

De singleton $ \{b\} $ is daarentegen niet open, omdat het inverse beeld $ \{0\} $ geen open verzameling is.

Het punt $ b $ heeft dus geen open omgeving die kleiner is dan de hele ruimte. Het gedraagt zich als een topologische singulariteit.

Belangrijk inzicht: de structuur van de quotiëntruimte wordt volledig bepaald door wat er met open verzamelingen gebeurt in de oorspronkelijke ruimte.

Eigenschappen van de quotiënttopologie

Elke quotiënttopologie voldoet aan een aantal fundamentele eigenschappen:

De lege verzameling en de volledige ruimte zijn open
Dit volgt onmiddellijk uit de definitie, omdat hun inverse beelden respectievelijk leeg en de volledige ruimte zijn.
Willekeurige unies van open verzamelingen zijn open
$$ p^{-1}\left( \bigcup U_i \right) = \bigcup p^{-1}(U_i) $$
Aangezien unies van open verzamelingen in $ X $ open blijven, geldt dit ook in de quotiëntruimte.
Eindige doorsneden van open verzamelingen zijn open
$$ p^{-1}\left( \bigcap U_i \right) = \bigcap p^{-1}(U_i) $$
Ook deze eigenschap wordt overgedragen vanuit de oorspronkelijke ruimte.

Deze regels vormen de basis om met quotiënttopologie te werken en maken duidelijk hoe sterk deze constructie afhankelijk is van de oorspronkelijke ruimte.